Definition und Formulierung der Eigenschaften.

2.4.1 Definition und Formulierung der Eigenschaften.

Wir wenden uns nun einer reellen Zahl zu, welche ebenso wie $π$ eine besondere Rolle in der Mathematik zukommt. Dazu definieren wir zunächst die Fakultät einer nichtnegativen ganzen Zahl als

n! : = 1 \cdot \dots \cdot n, n \in ℕ; 0! : = 1 .

Wir betrachten die Folge reeller Zahlen

x_{n} : = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \dots + \frac{1}{n!} .

(2.20)

Theorem 2.4.1. Die in (2.20) definierte Folge ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ ist in $(ℝ, d_{| \cdot |})$ konvergent.

Der Beweis dieses und der weiteren hier formulierten Sätze wird im zweiten Teil dieses Abschnittes gegeben.

Definition 2.4.2. Es sei ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ die in (2.20) gegebene Folge. Wir definieren die Eulersche Zahl $e$ als $e : = lim_{n \to \infty} x_{n}$ .

Für diese reelle Zahl werden wir folgende Aussagen beweisen:

Theorem 2.4.3. Für $n \geq 1$ gilt $x_{n} < e < x_{n} + \frac{1}{n \cdot n!}$ .

Theorem 2.4.4. Die Zahl $e$ ist irrational.

Theorem 2.4.5. Es gilt $e = lim_{n \to \infty} {(1 + n^{- 1})}^{n}$ .

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