Der Beweis von Satz 2.4.1.

2.4.2 Der Beweis von Satz 2.4.1.

Wir zeigen, dass die Folge ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ monoton wächst und beschränkt ist. Dann konvergiert diese Folge nach Satz 2.2.14. Da ja offensichtlich

x_{n + 1} = x_{n} + \frac{1}{(n + 1)!} > x_{n}

für beliebiges $n \in ℕ$ , so ist die Folge ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ sogar streng monoton wachsend. Um eine gemeinsame obere Schranke dieser Folgenglieder zu finden merken wir zunächst an, dass $k! > 2^{k - 1}$ für $k \geq 2$ und damit auch $\begin{array}{rcl} x_{n} & = & 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} \\ < & 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{n}} = 1 + \sum_{k = 0}^{n} 2^{- k} . \end{array}$

Nach der Formel zur Summe einer geometrischen Reihe gilt

\sum_{k = 0}^{n - 1} 2^{- k} = \frac{1 - 2^{- n}}{1 - 2^{- 1}} = 2 (1 - 2^{- n}) \leq 2

und damit $x_{n} < 1 + 2 = 3$ . Dies vervollständigt den Beweis von Satz 2.4.1.

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