1.9.5  Zur Beziehung zwischen $\mathbb{Q}$ und $ℝ$.

Wir merken an, dass die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ die in 1.9.1, 1.9.2 und 1.9.4 genannten Eigenschaften erfüllen. Sie folgen aus den Axiomen von Peano, den Eigenschaften der Grundrechenarten und der Ordnung der natürlichen Zahlen, welche dann auf $\mathbb{Q}$ übertragen bzw. erweitert werden. Mehr noch, der Beweis in den Punkten 1.9.1, 1.9.2 und 1.9.4 für die reellen Zahlen folgt aus den genannten Eigenschaften für $\mathbb{Q}$. Der Unterschied zwischen $ℝ$ und $\mathbb{Q}$ liegt im Vollständigkeitsaxiom 1.9.3, welches für $\mathbb{Q}$ nicht erfüllt ist.