1.9.2  Die Ordnungsstruktur: $ℝ$ ist ein vollständig geordneter Körper.

Die Vergleichsrelation $\le$ führt auf $ℝ$ die Struktur einer geordneten Menge ein, d.h. $$\begin{array}{rcll}& x\le x,& & \\ x\le y\wedge y\le x& \Rightarrow & x=y,& \\ x\le y\wedge y\le z& \Rightarrow & x\le z,& \end{array}$$

wobei zwei beliebige Elemente stets vergleichbar sind

Diese Ordnungsrelation ist zudem mit den algebraischen Operationen verträglich $$\begin{array}{rcll}x\le y& \Rightarrow & {\forall }_{z\in ℝ}\left(x+z\le y+z\right),& \\ \left(0\le x\wedge 0\le y\right)& \Rightarrow & 0\le x\cdot y.& \end{array}$$

Diese Beziehungen folgen elementar aus den oben bewiesenen Eigenschaften der Vergleichsrelationen auf $ℝ$ sowie dem Zusammenhang von Ungleichungen und den algebraischen Operationen in $\mathbb{Q}$.