1.9.1  Die algebraische Struktur: $ℝ$ ist ein Körper.

Ein Körper ist eine Menge (in unseren Fall $ℝ$), auf welcher eine Addition und eine Multiplikation $$\begin{array}{rcll}+:ℝ\times ℝ\to ℝ& \text{d.h.}& \left(x,y\right)\stackrel{+}{\mapsto }x+y,& \\ \cdot :ℝ\times ℝ\to ℝ& \text{d.h.}& \left(x,y\right)\stackrel{\cdot }{\mapsto }x\cdot y& \end{array}$$

definiert sind, welche folgende Eigenschaften erfüllen: $$\begin{array}{rcll}x+y=y+x& \text{Kommutativität}& x\cdot y=y\cdot x& \\ x+\left(y+z\right)=\left(x+y\right)+z& \text{Assoziativität}& x\cdot \left(y\cdot z\right)=\left(x\cdot y\right)\cdot z& \\ {\exists }_{0\in ℝ}{\forall }_{x\in ℝ}0+x=x& \text{neutrales Element}& {\exists }_{1\in ℝ}{\forall }_{x\in ℝ}1\cdot x=x& \\ {\forall }_{x\in ℝ}{\exists }_{\left(-x\right)\in ℝ}x+\left(-x\right)=0& \text{inverses Element}& {\forall }_{x\in ℝ\backslash \left\{0\right\}}{\exists }_{x^{-1}\in ℝ}x\cdot x^{-1}=1& \\ x\cdot \left(y+z\right)=x\cdot y+x\cdot z& \text{Distributivität}& & \end{array}$$

Diese Beziehungen folgen elementar über die Definition von $ℝ$ aus den entsprechenden Eigenschaften der rationalen Zahlen.