Der Begriff der Jordanschen Kurve.

4.9.1 Der Begriff der Jordanschen Kurve.

Definition 4.9.1. Es sei $φ : [a, b] \to ℝ^{n}$ eine stetige, injektive Funktion und $Γ φ = φ ([a, b])$ sei das Bild dieser Funktion. Dann sagt man, dass $φ$ eine einfache Kurve $Γ_{φ}$ erzeugt.

Eine solche Kurve besitzt nach Voraussetzung keine Selbstüberschneidung und der Punkt $φ (t)$ kann beim Durchlaufen der Kurve, d.h. bei einem Ansteigen der Variablen $t$ von $a$ bis $b$ die “Laufrichtung” nicht verändern.

Definition 4.9.2. Die stetige Funktion $φ : [a, b] \to ℝ^{n}$ erzeugt eine geschlossene einfache Kurve $Γ_{φ} = φ ([a, b])$ , falls $φ |_{[a, b [}$ injektiv ist und $φ (b) = φ (a)$ gilt.

Wir fassen die Begriffe der einfachen sowie der geschlossenen einfachen Kurve unter der Bezeichnung Jordansche Kurve zusammen.

Wir weisen darauf hin, dass die oben angeführten Definitionen in erster Linie von der erzeugenden Abbildung $φ$ als Parametrisierung der Kurve $Γ_{φ}$ und nicht direkt von $Γ_{φ}$ als Punktmenge in $ℝ^{n}$ ausgehen.

Definition 4.9.3. Man sagt, dass $φ$ eine einfache oder eine geschlossene einfache Kurve der Klasse $C^{m}$ erzeugt, falls zusätzlich zu den oben genannten Bedingungen $φ \in C^{m} ([a, b], ℝ^{n})$ sowie

φ^{'} (t) \neq 0 für t \in] a, b [, φ^{'} (a + 0) \neq 0, φ^{'} (b - 0) \neq 0 .

Example 4.9.4. Wir betrachten $φ : [0, 2 π] \to ℝ^{2}$ mit $φ (t) = (x (t), y (t))$ ,

x (t) = a cos t, y (t) = b sin t, a, b > 0 .

Die erzeugte geschlossene einfache Kurve entspricht der Ellipse $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ und gehört zur Klasse $C^{m}$ für beliebiges $m \in ℕ$ .

Example 4.9.5. Wir betrachten $φ : [- 1, 1] \to ℝ^{2}$ mit $φ (t) = (x (t), y (t)) = (t^{3}, t^{2})$ . Obwohl die Koordinatenfunktionen $x (t)$ und $y (t)$ beliebig oft differenzierbar sind, so erzeugt $φ$ doch keine Kurve einer Klasse $C^{m}$ , da $φ^{'} (0) = (0, 0)$ .

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