Beweis. Nach dem Satz von Cantor ist $f$ gleichmäßig stetig auf $\left[a,b\right]$, d.h.

Letzteres bedeutet, dass $\omega \left(f,{\Delta }_k\right)<\tilde{\epsilon }$ für $\lambda \left(\delta \right)<{\Lambda }_{\tilde{\epsilon }}$. Daraus folgt

Setzt man $\epsilon =\tilde{\epsilon }\left(b-a\right)$, so ist (4.1) erfüllt und nach Satz 4.1.5 ist $f$ Riemann-integrierbar. □

Beweis. Es seien $Y_k\in \left[a,b\right]$ mit $k=1,\dots ,M$ die Unstetigkeitsstellen und es sei $\left|f\left(x\right)\right|\le C$ für $x\in \left[a,b\right]$. Für gegebenes $\epsilon >0$ setzen wir $\rho =\epsilon M^{-1}{C}^{-1}$. Wir betrachten die Mengen

Die Menge $B$ ist beschränkt und abgeschlossen und damit kompakt. Da $f{|}_B$ auf $B$ stetig ist, so ist nach dem Satz von Cantor $f{|}_B$ auf $B$ gleichmässig stetig. Damit existiert ein ${\Lambda }_{\epsilon }\in ]0,\rho [$, so dass $\omega \left(f;{\Delta }_k\right)<\epsilon$ für jedes Teilintervall ${\Delta }_k=\left[x_k,x_{k+1}\right]$ mit der Eigenschaft ${\Delta }_k\subset B$ einer beliebigen Zerlegung $\delta ={\left\{x_k\right\}}_{k=0}^n$ mit $\lambda \left(\delta \right)<{\Lambda }_{\epsilon }$. Für die restlichen Teilintervalle ${\Delta }_l$ von $\delta$ gilt wegen $\left|f\left(x\right)\right|\le C$ die Abschätzung $\omega \left(f;{\Delta }_l\right)\le 2C$. Diese Intervalle erfüllen die Eigenschaft ${\Delta }_l\cap A\ne \varnothing$, weshalb die summare Länge aller dieser Intervalle $2\left(\rho +{\Lambda }_{\epsilon }\right)M<4\rho M$ nicht übersteigt; die summare Länge der Intervalle ${\Delta }_k\subset B$ ist durch die Länge des gesamten Intervalls $b-a$ beschränkt. Dann gilt $$\begin{array}{rcll}\sum _{k=0}^{n-1}\omega \left(f,{\Delta }_k\right)\Delta x_k& =& \sum _{k:{\Delta }_k\subset B}\omega \left(f,{\Delta }_k\right)\Delta x_k+\sum _{l:{\Delta }_l\cap A\ne \varnothing }\omega \left(f,{\Delta }_l\right)\Delta x_l& \\ & \le & \epsilon \sum _{k:{\Delta }_k\subset B}\Delta x_k+2C\sum _{l:{\Delta }_l\cap A\ne \varnothing }\Delta x_l& \\ & \le & \epsilon \left(b-a\right)+2C\cdot 4\rho M=\epsilon \left(8+b-a\right)& \end{array}$$

für beliebige Zerlegungen $\delta$ mit $\lambda \left(\delta \right)<{\Lambda }_{\epsilon }$. Aus Satz 4.1.5 folgt damit $f\in R\left[a,b\right]$. □

Beweis. O.B.d.A. sei $f$ monoton wachsend. Dann gilt $\omega \left(f,\left[a,b\right]\right)=f\left(b\right)-f\left(a\right)$ sowie $\omega \left(f,{\Delta }_k\right)=f\left(x_{k+1}\right)-f\left(x_k\right)$ für jedes Teilintervall ${\Delta }_k=\left[x_k,x_{k+1}\right]$ einer Zerlegung $\delta ={\left\{x_k\right\}}_{k=0}^n$. Daraus folgt

Damit ist die Bedingung (4.1) von Satz 4.1.5 mit ${\Lambda }_{\epsilon }<{\left(1+f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)}^{-1}$ erfüllt und $f$ ist somit integrierbar. □