Zur Faktorisierung von Polynomen mit komplexen Koeffizienten.

Lemma 1.12.2. Es sei $P_{n} (z)$ ein Polynom über dem Körper $ℂ$ vom Grad $n \geq 1$ . Dann existiert für alle $c \in ℂ$ ein Polynom $Q_{n - 1; c} (z)$ vom Grad $n - 1$ , so da

P_{n} (z) = (z - c) Q_{n - 1; c} (z) + P_{n} (c), z \in ℂ .

(1.45)

Beweis. Wir führen den Beweis mit Hilfe der vollständigen Induktion nach $n$ . Im Induktionsanfang gilt für jedes Polynom vom Grad $n = 1$

P_{1} (z) = a_{1} z + a_{0} = (z - c) \underset{Q_{0; c}}{\underset{︸}{a_{1}}} + \underset{P_{1} (c)}{\underset{︸}{a_{1} c + a_{0}}}

wobei zudem $a_{1} \neq 0$ . Für den Induktionsschritt nehmen wir an, dass sich jedes beliebige Polynom $P_{n}$ mit $deg (P_{n}) = n$ für gewisses $n$ wie in (1.45) angegeben darstellen lässt. Wir müssen daraus eine analoge Zerlegung für ein beliebiges Polynom $P_{n + 1} (z) = a_{n + 1} z^{n + 1} + P_{n} (z)$ vom Grad $n + 1$ herleiten. Tatschlich, es folgt $\begin{array}{rcl} P_{n + 1} (z) & = & a_{n + 1} z^{n + 1} - a_{n + 1} c^{n - 1} + P_{n} (z) + a_{n + 1} c^{n + 1} \\ = & a_{n + 1} (z^{n + 1} - c^{n + 1}) + (z - c) Q_{n - 1; c} (z) + \underset{P_{n + 1} (c)}{\underset{︸}{a_{n + 1} c^{n + 1} + P_{n} (c)}} \\ = & (z - c) (\underset{Q_{n; c} (z)}{\underset{︸}{a_{n + 1} (z^{n} + z^{n - 1} c + \dots + c^{n}) + Q_{n - 1; c} (z)}}) + \\ + P_{n + 1} (c) . \end{array}$

Wegen $deg P_{n + 1} = n + 1$ gilt $a_{n + 1} \neq 0$ . Da nach Induktionsvoraussetzung $deg Q_{n - 1; c} = n - 1$ , so verschwindet damit der Koeffizient von $Q_{n; c}$ bei $z^{n}$ nicht und $deg Q_{n; c} = n$ . □

Man kann die Faktorisierung (1.46) nun iterativ anwenden. Nach dem Hauptsatz der Algebra besitzt

P_{n}

mindestens eine Nullstelle

c = c_{1}

, womit wir die Darstellung (1.46) erhalten. Setzen wir nun

P_{n - 1} (z) = Q_{n - 1; c} (z)

mit

deg P_{n - 1} = n - 1

, so besitzt dieses Polynom wiederum eine komplexe Nullstelle

c = c_{2}

, welche nach (1.46) auch eine Nullstelle von

P_{n}

ist usw., woraus

für

l = 1, 2, \dots k

und

k \leq n

folgt. Wegen

deg Q_{n - k; c} = n - k

bricht dieser Prozess nach genau

n

Schritten ab und ein Koeffizientenvergleich für

z^{n}

zeigt, dass

Q_{0; c} (z) = a_{n} \neq 0

. Da einige der komplexen Nullstellen zusammenfallen können, so erhält man abschliessend¹⁴

Dabei ist

{{\tilde{c}}_{1}, \dots, {\tilde{c}}_{m}}

die Menge der (verschiedenen) Nullstellen von

P_{n} (z)

, und

p_{l}

die Ordnung der Nullstelle

{\tilde{c}}_{l}

¹⁴Wir nutzen hier und im weiteren die Konvention der Summen- und Produktzeichen, d.h. $\sum_{l = m}^{n} r_{l} = r_{m} + r_{m + 1} + \dots + r_{n}$ für $n \geq l$ und $\sum_{l = m}^{n} r_{l} = 0$ sonst sowie $\prod_{l = m}^{n} r_{l} = r_{m} r_{m + 1} \dots r_{n}$ für $n \geq l$ und $\prod_{l = m}^{n} r_{l} = 1$ sonst.

1.12.2 Zur Faktorisierung von Polynomen mit komplexen Koeffizienten.