Die Monotonie des Riemann-Integrals.

4.2.3 Die Monotonie des Riemann-Integrals.

Theorem 4.2.3. Für zwei Funktionen $f_{1}, f_{2} \in R [a, b]$ gelte $f_{1} (x) \geq f_{2} (x)$ für alle $x \in [a, b]$ . Daraus folgt

\int_{a}^{b} f_{1} (x) d x \geq \int_{a}^{b} f_{2} (x) d x .

(4.13)

Beweis. Aus $f_{1} (x) \geq f_{2} (x)$ folgt $Σ (f_{1}; δ, ξ) \geq Σ (f_{2}; δ, ξ)$ für jede Zerlegung $δ$ und jeden zugehörigen Satz von Stützstellen $ξ$ . Im Grenzübergang $λ (δ) \to 0$ folgt (4.13). □

Gilt für eine Funktion $f \in R [a, b]$ die Ungleichung $m \leq f (x) \leq M$ für alle $x \in [a, b]$ , so folgt

m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f d x \leq M (b - a) .

Im Spezialfall

m = - sup_{x \in [a, b]} | f (x) | \leq - | f (x) | \leq f (x) \leq | f (x) | \leq sup_{x \in [a, b]} | f (x) | = M

folgt die wichtige Ungleichung

|\int_{a}^{b} f (x) d x| \leq sup_{x \in [a, b]} | f (x) | (b - a) .

(4.14)

Problem 4.2.4. Beweisen Sie durch Anwendung der Dreiecksungleichung auf die Riemann-Summe $Σ (f; ξ, δ)$ für eine integrierbare Funktion $f : [a, b] \to K^{n}$ , $K \in {ℝ, ℂ}$ die Ungleichung

||\int_{a}^{b} f (x) d x|| \leq \int_{a}^{b} ∥ f (x) ∥ d x \leq sup_{x \in [a, b]} ∥ f (x) ∥ (b - a) .

(4.15)

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