Beweis. Wir betrachten die Implikation $\Rightarrow$. Aus (4.5) folgt, dass $f{|}_{\left[a,c\right]}\in R\left[a,c\right]$ und $f{|}_{\left[c,b\right]}\in R\left[c,b\right]$. Wir betrachten Zerlegungen $\delta ={\left\{x_k\right\}}_{k=0}^n$ mit $c\in \delta$. Es sei $c=x_M$. Dann ist ${\delta }^{\prime }={\left\{x_k\right\}}_{k=0}^M$ eine Zerlegung von $\left[a,c\right]$ und ${\delta }^{\prime \prime }={\left\{x_k\right\}}_{k=M}^n$ eine Zerlegung von $\left[c,b\right]$, wobei

gilt. Ebenso zerfällt ein Satz von Stützstellen $\xi ={\left\{{\xi }_k\right\}}_{k=0}^{n-1}$ für $\delta$ in zwei Sätze ${\xi }^{\prime }={\left\{{\xi }_k\right\}}_{k=0}^{M-1}$ und ${\xi }^{\prime \prime }={\left\{{\xi }_k\right\}}_{k=M}^{n-1}$ von Stützstellen für ${\delta }^{\prime }$ und ${\delta }^{\prime \prime }$, und $$\begin{array}{rcll}\Sigma \left(f;\delta ,\xi \right)& =& \sum _{k=0}^{n-1}f\left({\xi }_k\right)\Delta x_k=\sum _{k=0}^{M-1}f\left({\xi }_k\right)\Delta x_k+\sum _{k=M}^{n-1}f\left({\xi }_k\right)\Delta x_k& \\ & =& \Sigma \left(f{|}_{\left[a,c\right]};{\delta }^{\prime },{\xi }^{\prime }\right)+\Sigma \left(f{|}_{\left[c,b\right]};{\delta }^{\prime \prime },{\xi }^{\prime \prime }\right).& \text{(4.10)}\end{array}$$

Aufgrund der Integrierbarkeitseigenschaften gilt $$\begin{array}{rcll}\Sigma \left(f;\delta ,\xi \right)& \stackrel{\lambda \left(\delta \right)\to 0}{\to }& {\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx,& \\ \Sigma \left(f{|}_{\left[a,c\right]};{\delta }^{\prime },{\xi }^{\prime }\right)& \stackrel{\lambda \left(\delta \right)\to 0\Rightarrow \lambda \left({\delta }^{\prime }\right)\to 0}{\to }& {\int \; <!--nolimits-->}_a^{c}f\left(x\right)dx,& \\ \Sigma \left(f{|}_{\left[c,b\right]};{\delta }^{\prime \prime },{\xi }^{\prime \prime }\right)& \stackrel{\lambda \left(\delta \right)\to 0\Rightarrow \lambda \left({\delta }^{\prime \prime }\right)\to 0}{\to }& {\int \; <!--nolimits-->}_c^{b}f\left(x\right)dx,& \end{array}$$

und der Grenzübergang in (4.10) liefert (4.9).

Zum Beweis der Implikation $\Leftarrow$ betrachten wir eine Zerlegung $\delta$ von $\left[a,b\right]$. Für ein gewisses $M$ gilt $c\in {\Delta }_M$ und wir setzen entsprechend $$\begin{array}{rcll}{\delta }^{\prime }={\left\{x_k^{\prime }\right\}}_{k=0}^{M+1}=\left\{x_0,\dots ,x_M,c\right\}& \text{falls}& c\ne x_M,& \\ {\delta }^{\prime }={\left\{x_k^{\prime }\right\}}_{k=0}^M=\left\{x_0,\dots ,x_M\right\}& \text{falls}& c=x_M,& \end{array}$$

sowie

Dies sind Zerlegungen für $\left[a,c\right]$ bzw. für $\left[c,b\right]$. Dann gilt $$\begin{array}{rcll}\sum _{k=0}^{n-1}\omega \left(f,{\Delta }_k\right)\Delta x_k& =& \sum _{k=0;k\ne M}^{n-1}\omega \left(f,{\Delta }_k\right)\Delta x_k+\omega \left(f,{\Delta }_M\right)\Delta x_M& \\ & =& \sum _{k=0}^{M\text{bzw}M+1}\omega \left(f,{\Delta }_k^{\prime }\right)\Delta x_k^{\prime }+\sum _{k=0}^{n-M}\omega \left(f,{\Delta }_k^{\prime \prime }\right)\Delta x_k^{\prime \prime }+R& \end{array}$$

mit $$\begin{array}{rcll}R& =& \omega \left(f,\left[x_M,x_{M+1}\right]\right)\left(x_{M+1}-x_M\right)-\omega \left(f,\left[x_M,c\right]\right)\left(c-x_M\right)& \\ & & -\omega \left(f,\left[c,x_{M+1}\right]\right)\left(x_{M+1}-c\right).& \end{array}$$

Wegen $f\in R\left[a,c\right]$ und $f\in R\left[c,b\right]$ findet man nach Satz 4.1.10 ein ${\Lambda }_{\epsilon }>0$, so dass

Zudem ist $f$ dann auf $\left[a,b\right]$ beschränkt, d.h. $\left|f\left(x\right)\right|\le C$ für alle $x\in \left[a,b\right]$ und damit

Zusammenfassend gilt wegen $\lambda \left({\delta }^{\prime }\right)\le \lambda \left(\delta \right)$ und $\lambda \left({\delta }^{\prime \prime }\right)\le \lambda \left(\delta \right)$ für $\lambda \left(\delta \right)<min\left\{\epsilon ,{\Lambda }_{\epsilon }\right\}$ auch

Damit folgt nach Satz 4.1.10 $f\in R\left[a,b\right]$. Die Formel (4.9) ergibt sich aus dem ersten Teil des Beweises. □