Die Linearitat des Riemann-Integrals.

Theorem 4.2.1. Für zwei Funktionen $f_{1} \in R [a, b]$ und $f_{2} \in R [a, b]$ gilt

α_{1} f_{1} + α_{2} f_{2} \in R [a, b], α_{1}, α_{2} \in ℝ,

(4.7)

sowie

\int_{a}^{b} (α_{1} f_{1} + α_{2} f_{2}) d x = α_{1} \int_{a}^{b} f_{1} + α_{2} \int_{a}^{b} f_{2} d x .

(4.8)

Beweis. Nach Voraussetzung existiert zu jedem $ε > 0$ ein Wert $Λ_{ε} > 0$ , so dass

|J_{j} - Σ (f_{j}; δ, ξ)| < ε, J_{j} = \int_{a}^{b} f_{j} (x) d x, j = 1, 2

für jede Zerlegung $δ$ jede zugehörigen Satz Stützstellen, solange nur $λ (δ) < Λ_{ε}$ erfüllt ist. Da aus der offensichtlichen Linearität der Riemann-Summe

Σ (α_{1} f_{1} + α_{2} f_{2}; δ, ξ) = α_{1} Σ (f_{1}; δ, ξ) + α_{2} Σ (f_{2}; δ, ξ)

folgt, so gilt dann auch

|(α_{1} J_{1} + α_{2} J_{2}) - Σ (α_{1} f_{1} + α_{2} f_{2}; δ, ξ)| \leq (α_{1} + α_{2}) ε .

Letzteres ist für beliebige aber fixierte Werte von $α_{1}$ und $α_{2}$ gleichbedeutend mit (4.7) und (4.8). □

4.2.1 Die Linearität des Riemann-Integrals.