Obere und untere Darboux-Summen.

Es sei

f : [a, b] \to ℝ

eine beschränkte Funktion. Für eine Zerlegung

δ = {x_{k}}_{k = 0}^{n}

und deren Teilintervalle

Δ_{k} \in [x_{k}, x_{k + 1}]

sei

Mit der Hilfe dieser Grössen führen wir die obere und die untere Darboux-Summe

ein. Wie oben bezeichne

ξ

einen Satz von Stützstellen für eine gegebene (endliche) Zerlegung

δ

. Dann gilt offensichtlich

Theorem 4.1.9. Für jede beschränkte Funktion $f : [a, b] \to ℝ$ gilt³

f \in R [a, b] \Leftrightarrow lim_{λ (δ) \to 0} s (f, δ) = lim_{λ (δ) \to 0} S (f, δ) = J

Im Falle der Integrierbarkeit ist dabei $J = \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Beweis. Zum Beweis der Implikation $\Leftarrow$ merken wir an, dass sich Lemma 2.1.12 auf Grenzübergänge vom Typ $lim_{λ (δ) \to 0}$ erweitern lässt. Dann folgt aus

s (f, δ) \leq Σ (f; δ, ξ) \leq S (f, δ)

und $s (f, δ) \overset{λ (δ) \to 0}{\to} J$ sowie $S (f, δ) \overset{λ (δ) \to 0}{\to} J$ , dass $f \in R [a, b]$ und

Σ (f; δ, ξ) \overset{λ (δ) \to 0}{\to} J = \int_{a}^{b} f (x) d x .

Wir betrachten nun die umgekehrte Richtung $\Rightarrow$ . Für eine gegebene Zerlegung $δ$ kann man Sätze von Stützstellen $ξ_{ε, δ}^{s}$ und $ξ_{ε, δ}^{S}$ so wählen, dass $s (f, δ) \geq Σ (f; δ, ξ_{ε, δ}^{s}) - ε$ sowie $S (f, δ) \leq Σ (f; δ, ξ_{ε, δ}^{S}) + ε$ . Wegen $f \in R [a, b]$ gilt

Σ (f; δ, ξ_{ε, δ}^{s}) \overset{λ (δ) \to 0}{\to} J und Σ (f; δ, ξ_{ε, δ}^{S}) \overset{λ (δ) \to 0}{\to} J,

und damit existiert ein $Λ_{ε} > 0$ , so dass $\begin{array}{rcl} |Σ (f; δ, ξ_{ε, δ}^{s}) - J| & \leq & ε, \\ |Σ (f; δ, ξ_{ε, δ}^{S}) - J| & \leq & ε, \end{array}$

für jede Zerlegung $δ$ mit $λ (δ) < Λ_{ε}$ . Dies impliziert

J - 2 ε \leq s (f, δ) \leq S (f, δ) \leq J + 2 ε

für jede solche Zerlegung, und damit

lim_{λ (δ) \to 0} s (f, δ) = J, lim_{λ (δ) \to 0} S (f, δ) = J .

□

Wir sind nun in der Lage, den Satz 4.1.5 zu vervollständigen und zu zeigen, dass die Eigenschaft (4.1) ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Integrierbarkeit von

f

ist:

Beweis. Wegen Satz 4.1.5 bleibt zu zeigen, dass $f \in R [a, b]$ die Eigenschaft (4.1) impliziert. Setzt man für eine Zerlegung $δ = {x_{k}}_{k = 0}^{n}$ wie oben

m_{k} = inf_{x \in Δ_{k}} f (x), M_{k} = sup_{x \in Δ_{k}}, k = 0, \dots n - 1,

so gilt $ω (f, Δ_{k}) = M_{k} - m_{k}$ . Daraus folgt

\sum_{k = 0}^{n - 1} ω (f, Δ_{k}) Δ x_{k} = \sum_{k = 0}^{n - 1} (M_{k} - m_{k}) Δ x_{k} = S (f, δ) - s (f, δ) .

Da nach Voraussetzung $f \in R [a, b]$ , so existiert nach Satz 4.1.9 für jedes $ε > 0$ ein $Λ_{ε} > 0$ mit

\forall_{δ : λ (δ) < Λ_{ε}} (| S (f, δ) - J | < ε) \land (| s (f, δ) - J | < ε)

und damit $0 \leq S (f, δ) - s (f, δ) < 2 ε$ für alle Zerlegungen $δ$ mit $λ (δ) < Λ_{ε}$ . Folglich gilt

\sum_{k = 0}^{n - 1} ω (f, Δ_{k}) Δ x_{k} < 2 ε

für jede solche Zerlegung, was gleichbedeutend mit (4.1) ist. □

³Falls wie hier die eingehenden Grössen nicht von Stützstellen $ξ$ abhängen, so vereinfacht sich die Definition des Grenzwertes $lim_{λ (δ) \to 0}$ wie folgt: $\begin{array}{rcl} J = lim_{λ (δ) \to 0} s (f, δ) & \Leftrightarrow & \forall_{ε > 0} \exists_{Λ_{ε} > 0} \forall_{δ : λ (δ) < Λ_{ε}} | J - s (f, δ) | < ε, \\ J = lim_{λ (δ) \to 0} S (f, δ) & \Leftrightarrow & \forall_{ε > 0} \exists_{Λ_{ε} > 0} \forall_{δ : λ (δ) < Λ_{ε}} | J - S (f, δ) | < ε . \end{array}$

4.1.4 Obere und untere Darboux-Summen.