Beweis. Die Eigenschaften (4.2) und (4.3) zeigen wir später im Rahmen von Satz 4.2.1.

Zum Beweis von (4.4) - (4.6) benutzen wir Satz 4.1.10. Aus $f\in R\left[a,b\right]$ folgt (4.1). Wegen $$\begin{array}{rcll}\omega \left(f,{\Delta }_k\right)& =& \underset{x^{\prime },x^{\prime \prime }\in {\Delta }_k}{sup}|f\left(x^{\prime }\right)-f\left(x^{\prime \prime }\right)|& \\ & \ge & \underset{x^{\prime },x^{\prime \prime }\in {\Delta }_k}{sup}\left|\right|f\left(x^{\prime }\right)|-|f\left(x^{\prime \prime }\right)\left|\right|=\omega \left(\left|f\right|,{\Delta }_k\right)\ge 0& \end{array}$$

gilt damit die Eigenschaft (4.1) auch dann, wenn man $f$ durch $\left|f\right|$ ersetzt. Letzteres bedeutet nach Satz 4.1.10 $\left|f\right|\in R\left[a,b\right]$.

Als nächstes merken wir an, dass die integrierbaren Funktionen $f,g$ beschränkt ist, $\left|f\left(x\right)\right|,\left|g\left(x\right)\right|\le C$ für alle $x\in [a,b$ ]. Dann gilt wegen $$\begin{array}{rcll}\omega \left(f\cdot g,{\Delta }_k\right)& =& \underset{x^{\prime },x^{\prime \prime }\in {\Delta }_k}{sup}|g\left(x^{\prime }\right)f\left(x^{\prime }\right)-g\left(x^{\prime \prime }\right)f\left(x^{\prime \prime }\right)|& \\ & \le & \underset{x^{\prime },x^{\prime \prime }\in {\Delta }_k}{sup}\left(\left|g\left(x^{\prime }\right)\right||f\left(x^{\prime }\right)-f\left(x^{\prime \prime }\right)|+\left|f\left(x^{\prime \prime }\right)\right||g\left(x^{\prime }\right)-g\left(x^{\prime \prime }\right)|\right)& \\ & \le & C\left(\omega \left(f,{\Delta }_k\right)+\omega \left(g,{\Delta }_k\right)\right)& \end{array}$$

die Eigenschaft (4.1) auch für das Produkt $f\cdot g$ und damit ist $f\cdot g\in R\left[a,b\right]$.

Schliesslich kann man jede Zerlegung $\tilde{\delta }={\left\{{\tilde{x}}_l\right\}}_{l=0}^m$ von $\left[c,d\right]$ mit $\lambda \left(\tilde{\delta }\right)<{\Lambda }_{\epsilon }$ als Teilmenge einer geeigneten Zerlegung $\delta ={\left\{x_k\right\}}_{k=0}^n$ von $\left[a,b\right]$ mit $\lambda \left(\delta \right)<{\Lambda }_{\epsilon }$ auffassen.⁴Aus der Positivität der einzelnen Summanden folgt $$\begin{array}{rcll}\epsilon >\sum _{k=0}^{n-1}\omega \left(f,{\Delta }_k\right)\Delta x_k& \ge & \sum _{k=0;{\Delta }_k\subset \left[c,d\right]}^{n-1}\omega \left(f,{\Delta }_k\right)\Delta x_k& \\ & =& \sum _{l=0}^{m-1}\omega \left(f{|}_{\left[c,d\right]},{\tilde{\Delta }}_l\right)\Delta {\tilde{x}}_l& \end{array}$$

und damit (4.5). □