Das Stetigkeitsmodul und Riemann-Integrierbarkeit.

Beweis. Wir betrachten zwei Zerlegungen $δ^{'} = {x_{k}^{'}}_{k = 0}^{n}$ und $δ^{″} = {x_{j}^{''}}_{j = 0}^{m}$ und setzen $\begin{array}{rcl} Δ_{k}^{'} = [x_{k}^{'}, x_{k + 1}^{'}], & Δ x_{k}^{'} = x_{k + 1}^{'} - x_{k}^{'}, & k = 0, \dots, n - 1, \\ Δ_{j}^{″} = [x_{j}^{''}, x_{j + 1}^{''}], & Δ x_{j}^{''} = x_{j + 1}^{''} - x_{j}^{'}, & j = 0, \dots, m - 1 . \end{array}$

Weiterhin seien $ξ^{'} = {ξ_{k}^{'}}_{k = 0}^{n - 1}$ und $ξ^{''} = {ξ_{k}^{''}}_{k = 0}^{m - 1}$ Sätze von Stützstellen für die Zerlegungen $δ^{'}$ bzw. $δ^{''}$ .

Wir schätzen nun die Differenz zwischen den zugehörigen Riemann-Summen $Σ (f; δ^{'}, ξ^{'})$ sowie $Σ (f; δ^{''}, ξ^{''})$ ab. Dazu betrachten wir die Zerlegung $δ = δ^{'} \cup δ^{″} = {x_{l}}_{l = 0}^{N}$ mit $N \leq n + m + 1$ . Es sei $ξ = {ξ_{l}}_{l = 0}^{N}$ ein Satz von Stützstellen für diese Zerlegung. Das Hinzufügen der Punkte $x_{j}^{''}$ zur Zerlegung $δ^{'}$ unterteilt jedes der Intervalle $Δ_{k}^{'}$ in $n_{k}$ Teilintervalle. Es seien ${x_{n_{k} + r}}_{r = 0}^{n_{k} - 1}$ diejenigen (aufeinanderfolgenden) Punkte der Zerlegung ${x_{l}}_{l = 0}^{N}$ , welche zu $Δ_{k}^{'}$ gehren, ${ξ_{n_{k} + r}}_{r = 0}^{n_{k} - 1}$ seien die zugehörigen Stützstellen aus ${ξ_{l}}_{l = 0}^{N}$ . Dann gilt

x_{k}^{'} = x_{n_{k}} < x_{n_{k} + 1} < \dots < x_{n_{k} + r - 1} < x_{n_{k} + r} = x_{k + 1}^{'}

und damit $Δ x_{k}^{'} = \sum_{r = 0}^{n_{k} - 1} Δ x_{n_{k} + r}$ . Daraus folgt $\begin{array}{rcl} Σ (f; δ, ξ) - Σ (f; δ^{'}, ξ^{'}) & = & \sum_{l = 0}^{N - 1} f (ξ_{l}) Δ x_{l} - \sum_{k = 0}^{n - 1} f (ξ_{k}^{'}) Δ x_{k}^{'} \\ = & \sum_{k = 0}^{n - 1} \sum_{r = 0}^{n_{k} - 1} f (ξ_{n_{k} + r}) Δ x_{n_{k} + r} \\ - \sum_{k = 0}^{n - 1} f (ξ_{k}^{'}) \sum_{r = 0}^{n_{k} - 1} Δ x_{n_{k} + r} \\ = & \sum_{k = 0}^{n - 1} \sum_{r = 0}^{n_{k} - 1} (f (ξ_{n_{k} + r}) - f (ξ_{k}^{'})) Δ x_{n_{k} + r} . \end{array}$

Daraus folgt nach Anwendung der Dreiecksungleichung

|Σ (f; δ, ξ) - Σ (f; δ^{'}, ξ^{'})| \leq \sum_{k = 0}^{n - 1} \sum_{r = 0}^{n_{k} - 1} |f (ξ_{n_{k} + r}) - f (ξ_{k}^{'})| Δ x_{n_{k} + r} .

Wegen $ξ_{n_{k} + r} \in Δ_{n_{k} + r} = [x_{n_{k} + r}, x_{n_{k} + r + 1}] \subset [x_{k}^{'}, x_{k + 1}^{'}] = Δ_{k}^{'}$ und $ξ_{k}^{'} \in Δ_{k}^{'}$ gilt

|f (ξ_{n_{k} + r}) - f (ξ_{k}^{'})| \leq sup_{x^{'}, x^{''} \in Δ_{k}^{'}} | f (x^{'}) - f (x^{''}) | = ω (f, Δ_{k}^{'}), k = 0, \dots, n - 1,

und damit $\begin{array}{rcl} |Σ (f; δ, ξ) - Σ (f; δ^{'}, ξ^{'})| & \leq & \sum_{k = 0}^{n - 1} \sum_{r = 0}^{n_{k} - 1} ω (f, Δ_{k}^{'}) Δ x_{n_{k} + r} \\ \leq & \sum_{k = 0}^{n - 1} ω (f, Δ_{k}^{'}) \sum_{r = 0}^{n_{k} - 1} Δ x_{n_{k} + r} = \sum_{k = 0}^{n - 1} ω (f, Δ_{k}^{'}) Δ x_{k}^{'} . \end{array}$

Auf gleichem Wege erhält man

|Σ (f; δ, ξ) - Σ (f; δ^{''}, ξ^{''})| \leq \sum_{j = 0}^{m - 1} ω (f, Δ_{j}^{''}) Δ x_{j}^{''}

und schließlich $\begin{array}{rcl} |Σ (f; δ^{'}, ξ^{'}) - Σ (f; δ^{''}, ξ^{''})| & \leq & |Σ (f; δ, ξ) - Σ (f; δ^{'}, ξ^{'})| \\ + |Σ (f; δ, ξ) - Σ (f; δ^{''}, ξ^{''})| \\ \leq & \sum_{k = 0}^{n - 1} ω (f, Δ_{k}^{'}) Δ x_{k}^{'} + \sum_{j = 0}^{m - 1} ω (f, Δ_{j}^{''}) Δ x_{j}^{''} . \end{array}$

Wählt man nun für gegebenes $ε > 0$ beliebige Zerlegungen $δ^{'}$ und $δ^{''}$ mit $λ (δ^{'}) < Λ_{ε}$ und $λ (δ^{''}) < Λ_{ε}$ , so sind beide Summen auf der rechten Seite nach Voraussetzung kleiner als $ε$ und folglich gilt

|Σ (f; δ^{'}, ξ^{'}) - Σ (f; δ^{''}, ξ^{''})| < 2 ε .

Damit ist die in Aufgabe 4.1.2 beschriebene Eigenschaft erfüllt und nach Aufgabe 4.1.2 ist die Funktion $f$ Riemann-integrierbar. □

4.1.2 Das Stetigkeitsmodul und Riemann-Integrierbarkeit.