3.4.3  Zur Ableitung der Logarithmusfunktion.

Der komplexe Logarithmus einer komplexen Zahl ist nach Punkt 1.11.5 als mehrwertige Abbildung folgendermaßen definiert

Dabei bezeichnet $ln:\left(0,+\infty \right)\to ℝ$ die eindeutige Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion $e^x:ℝ\to \left(0,+\infty \right)$. Für die Beschreibung aller Werte von $\text{Ln}z$ ist es unerheblich, ob man sich darauf einigt, das Argument der komplexen Zahl $z\ne 0$ als Funktion $\text{arg}:ℂ\backslash \left\{0\right\}\to \left[0,2\pi \right)$ oder aber $\text{arg}:ℂ\backslash \left\{0\right\}\to \left[-\pi ,\pi \right)$ zu betrachten. Trifft man aber für gegebenes $z_0\ne 0$ eine geeignete Auswahl zwischen diesen beiden Möglichkeiten⁷, so erweist sich $argz$ als stetig in einer genügend kleinen $\epsilon$-Umgebung⁸ des Punktes $z_0$. Damit ist nach zusätzlicher Fixierung der Zahl $k\in \mathbb{Z}$ der komplexe Logarithmus eine stetige Funktion in dieser Umgebung⁹, welche $U_{\epsilon }\left(z_0\right)$ bijektiv auf das Bild $V=\text{Ln}{U}_{\epsilon }\left(z_0\right)$ bei fixiertem $k\in \mathbb{Z}$ und geeigneter Wahl des Bildbereiches von $argz$ abbildet.

Man nennt diese Prozedur die Auswahl eines stetigen Blattes des komplexen Logarithmus. Die dabei entstehende stetige Funktion ist lokal die Umkehrfunktion der komplexen Exponentialfunktion $e^v:V\to U_{\epsilon }\left(z_0\right)$. Damit lässt sich zur Berechnung der Ableitung Satz 3.3.4 heranziehen. Danach gilt bei $v_0=\text{Ln}{z}_0$ und entsprechend $z_0=e^{v_0}$

die Ableitung hängt damit nicht von der konkreten Wahl von $k\in \mathbb{Z}$ ab.

über die Logarithmusfunktion ist die allgemeine Potenzfunktion

definiert. In Abhängigkeit von $\alpha$ bleibt hier gegebenenfalls die durch die komplexe Logarithmusfunktion entstehende Mehrwertigkeit erhalten. Nach Wahl eines lokal stetigen Blattes von $\text{Ln}z$ erhält man aus der Kettenregel

dieser Wert ist wiederum unabhängig von der konkreten Auflösung der Mehrwertigkeit. Wir fassen diese beiden Ergebnisse deshalb in der Schreibweise $$\begin{array}{rcll}f\left(z\right)=\text{Ln}z& \Rightarrow & f^{\prime }\left(z\right)=\frac{1}{z},z\ne 0,& \\ f\left(z\right)=z^{\alpha }& \Rightarrow & f^{\prime }\left(z\right)=\alpha z^{\alpha -1},z\ne 0,\alpha \in ℂ,& \end{array}$$

zusammen. Schränkt man diese beiden Abbildungen auf die positive Halbachse als Definitionsbereich und die reelle Zahlen als Wertebereich ein, so ergeben sich die reellen Ableitungen durch die gleichen Ausdrücke eingeschränkt auf die reellen Zahlen.