Wiederum sei . Wir zeigen zuerst, dass
Aus der Multiplikativität der Exponentialfunktion sowie (3.12) folgt
Nach Satz 3.2.7 folgt daraus die Differenzierbarkeit von sowie .
Wendet man auf letzteres Resultat die Kettenregel an, so folgt , sowie für alle . Zusammen mit der Linearität der Ableitung ergibt sich
oder gleichbedeutend für beliebiges
Nach der Quotientenregel folgt
und damit
Wir merken an dieser Stelle an, dass die hier benutzte bekannte Beziehung
(3.24) |
auch für beliebige komplexe Argumente gilt, denn
Die Ableitung des Kotanges ergibt entweder analog zur Herleitung der Ableitung der Tangensfunktion oder z.B. aus der Kettenregel
woraus6
folgt.
Für die hyperbolischen Winkelfunktionen eines komplexen Argumentes wird (3.24) durch die Beziehung
ersetzt. Diese liefert bei der Ableitung von und dann
und zusammengefasst für mit respektive
6Formal bedarf es bei diesem Weg eigentlich einer besonderen Diskussion der Punkte mit , in denen die Tangensfunktion nicht, die Kotangensfunktion aber sehr wohl definiert ist.