Die Ableitung impliziter Funktionen.

Theorem 3.3.4. Die Funktion $f$ sei eine bijektive Abbildung zwischen den offenen Teilmengen $X$ und $Y$ von $K$ . Es sei $(x_{0}, y_{0}) \in X \times Y$ mit $y_{0} = f (x_{0})$ . Die Funktion $f$ sei im Punkt $x_{0}$ differenzierbar und $f^{'} (x_{0}) \neq 0$ . Zudem sei die inverse Abbildung $f^{- 1} : Y \to X$ stetig im Punkt $y_{0}$ . Dann ist $f^{- 1}$ im Punkt $y_{0}$ differenzierbar und⁵

{\frac{d}{d y} (f^{- 1} (y))|}_{y = y_{0}} = {(f^{- 1})}_{y}^{'} (y_{0}) = \frac{1}{{\frac{d}{d x} f (x)|}_{x = x_{0}}} = \frac{1}{f_{x}^{'} (x_{0})} .

Beweis. Neben $x_{0} = f^{- 1} (y_{0})$ sei $x = f^{- 1} (y_{0} + h)$ und umgekehrt $y_{0} = f (x_{0})$ sowie $y_{0} + h = f (x)$ . Dann gilt $h = f (x) - f (x_{0})$ und damit bei $θ = x - x_{0}$

φ (f^{- 1}; h, y_{0}) = h^{- 1} (f^{- 1} (y_{0} + h) - f^{- 1} (y_{0})) = \frac{x - x_{0}}{f (x) - f (x_{0})} = \frac{1}{φ (f; θ, x_{0})} .

Nach Voraussetzung ist $f^{- 1}$ stetig im Punkt $y_{0}$ . Dann folgt aus $h \to 0$ auch $x = f^{- 1} (y_{0} + h) \to x_{0} = f^{- 1} (y_{0})$ und damit $θ \to 0$ . Dies führt zu

lim_{h \to 0} φ (f^{- 1}; h, y) = lim_{θ \to 0} \frac{1}{φ (f; θ, x_{0})} = \frac{1}{f^{'} (x_{0})},

da $f^{'} (x_{0}) \neq 0$ . □

⁵Die Indizes $x$ und $y$ in den Ableitungen zeigen an, in welcher Variablen die entsprechende Abbildung differenziert wird.

3.3.3 Die Ableitung impliziter Funktionen.