3.4.4  Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.

Wir betrachten im weiteren reelle Ableitungen von Funktionen einer reeller Veränderlichen. Die Funktion $y=sinx$ bildet $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ stetig und monoton auf $\left[-1,1\right]$ ab. Nach Satz 2.12.28 ist damit die Umkehrfunktion $arcsiny:\left[-1,1\right]\to \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ ebenfalls stetig. Die Anwendung von Satz 3.3.4 ergibt dann

Hierbei haben wir ausgenutzt, dass $cosx\ge 0$ für $x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. Auf gleichem Wege erhält man die Ableitungen der anderen Inversen der trigonometrischen und hyperbolischen Winkelfunktionen als¹⁰ $$\begin{array}{rcll}f\left(y\right)=arcsiny:\left[-1,1\right]\to \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]& \Rightarrow & f^{\prime }\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}},y\ne \pm 1,& \\ f\left(y\right)=arccosy:\left[-1,1\right]\to \left[0,\pi \right]& \Rightarrow & f^{\prime }\left(y\right)=-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}},y\ne \pm 1,& \\ f\left(y\right)=arctany:ℝ\to \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]& \Rightarrow & f^{\prime }\left(y\right)=\frac{1}{1+y^2},& \\ f\left(y\right)=\text{arc}sinhy:ℝ\to ℝ& \Rightarrow & f^{\prime }\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{1+y^2}},& \\ f\left(y\right)=\text{arc}coshy:{ℝ}_{+}\to [1,+\infty [& \Rightarrow & f^{\prime }\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{y^2-1}},y\ne 1,& \\ f\left(y\right):\text{arc}tanhy:]-1,1[\to ℝ& \Rightarrow & f^{\prime }\left(y\right)=\frac{1}{1-y^2}.& \end{array}$$