Einige Beispiele fur die Symbole o und O.

Example 3.2.4. Es sei $z \in ℂ$ . Aus der Ungleichung $| e^{z} - 1 - z | \leq | z |^{2}$ für $| z | < 1$ (siehe (2.63)) folgt

e^{z} - 1 - z = O (z^{2}) für z \to 0 .

Da $g = O (z^{2})$ sofort $g = o (z)$ für $z \to 0$ impliziert, so gilt ebenfalls die schwächere Aussage

e^{z} - 1 - z = o (z) für z \to 0 .

(3.12)

Example 3.2.5. Nach $| z |^{2} \leq | z |$ für $| z | < 1$ gilt wegen $| e^{z} - 1 | \leq | z | + | z |^{2}$ auch

e^{z} - 1 = O (z) für z \to 0 .

Mit dem gleichen Argument folgt ebenfalls

e^{i z} - 1 = O (z) und e^{- i z} - 1 = O (z) für z \to 0 .

Example 3.2.6. Aus der Darstellung

sin z = {(2 i)}^{- 1} (e^{i z} - e^{- i z}) = \underset{O (1)}{\underset{︸}{{(2 i)}^{- 1}}} (\underset{O (z)}{\underset{︸}{(e^{i z} - 1)}} + \underset{O (z)}{\underset{︸}{(1 - e^{- i z})}})

folgt $sin z = O (1) (O (z) + O (z)) = O (1) O (z) = O (z)$ für $z \to 0$ .