Einige Anwendungen der Landau-Symbolik.

Es sei

K \in {ℝ, ℂ}

und

X

sei eine offene Teilmenge von

K^{n_{1}}

. Wir betrachten eine Funktion

f : X \to K^{n_{2}}

und

x_{0} \in acc (X)

Theorem 3.2.7. (a) Die Funktion $f$ ist genau dann im Durchschnitt einer $δ$ -Umgebung von $x_{0}$ mit dem Definitionsbereich von $f$ beschränkt, wenn

f = O (1) für x \to x_{0} .

(b) Es gilt

f = o (1) für x \to x_{0}

(3.13)

genau dann wenn

(lim_{x \to x_{0}} f (x) = 0) \land ((x_{0} \in X) \Rightarrow (f (x_{0}) = 0)) .

f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + o (1) für h \to 0 .

(3.14)

(d) Es sei $n_{1} = 1$ . Die Funktion $f$ ist genau dann im Punkt $x_{0}$ differenzierbar und $F \in K^{n_{2}}$ gleicht der entsprechenden Ableitung $f^{'} (x_{0})$ , wenn

f (x_{0} + h) - f (x_{0}) = h F + o (h) für h \to 0 .

(3.15)

Beweis. (a) Die Aussage $f \overset{x \to x_{0}}{=} O (1)$ bedeutet nach (3.4)

\exists_{δ > 0} \exists_{C \in ℝ} \forall_{x \in X \cap U_{δ} (x_{0})} ∥ f (x) ∥ \leq C .

(3.16)

(b) Nach (3.5) bedeutet $f \overset{x \to x_{0}}{=} o (1)$ zunächst, dass

\forall_{ε > 0} \exists_{δ_{ε} > 0} \forall_{x \in X \cap U_{δ_{ε}} (x_{0})} f (x) \in \bar{U_{ε} (0)} \subset U_{2 ε} (0),

d.h. $lim_{x \to x_{0}} f (x) = 0$ . Gilt $x_{0} \in X$ , so ist zudem $| f (x_{0}) | < ε$ für beliebige $ε > 0$ und damit $f (x_{0}) = 0$ . Die Umkehrung ist offensichtlich.

(c) Stetigkeit von $f$ im Punkt $x_{0}$ heisst, dass $lim_{h \to 0} f (x_{0} + h) = f (x_{0})$ oder $f (x_{0} + h) - f (x_{0}) \to 0$ für $h \to 0$ . Wie eben gezeigt ist dies äquivalent zu²

f (x_{0} + h) - f (x_{0}) = o (1) für h \to 0 .

(3.17)

Differenzierbarkeit im Punkt $x_{0}$ bedeutet, dass $f^{'} (x_{0}) = lim_{h \to 0} φ (f; h, x)$ und folglich

φ (f; h, x) - f^{'} (x_{0}) = o (1) für h \to 0, h \neq 0 .

(3.18)

Wir merken an, dass $g (h) = o (1)$ für $h \to 0$ , $h \neq 0$ genau dann gilt, wenn $h g (h) = o (h)$ für $h \to 0$ , $h \neq 0$ .³ Damit ist (3.18) äquivalent zu⁴

f (x_{0} + h) - f (x_{0}) - h f^{'} (x_{0}) = o (h) für h \to 0 .

(3.19)

□

Beweis. Es gilt

f (x_{0} + h) - f (x_{0}) = \underset{o (h)}{\underset{︸}{(f (x_{0} + h) - f (x_{0}) - h f^{'} (x_{0}))}} + \underset{O (h)}{\underset{︸}{h f^{'} (x_{0})}} \overset{h \to 0}{=} O (h) .

Da $O (h)$ sofort $o (1)$ für $h \to 0$ impliziert, so folgt $f (x_{0} + h) - f (x_{0}) = o (1)$ für $h \to 0$ . □

²Offensichtlich verschwindet die linke Seite von (3.17) für $h = 0$ .

³Dies folgt aus $∥ g (h) ∥ \leq ε \Leftrightarrow ∥ h g (h) ∥ \leq ε | h |$ für $h \neq 0$ .

⁴Offensichtlich verschwindet die linke Seite von (3.19) für $h = 0$ .

3.2.4 Einige Anwendungen der Landau-Symbolik.