Polynome und negativ ganzzahlige Potenzen von z.

3.4.1 Polynome und negativ ganzzahlige Potenzen von $z$ .

Wir betrachten hier Ableitungen komplexwertiger Funktionen einer Variablen $z \in ℂ$ . Für die konstante und die lineare Funktion haben wir in den Beispielen 3.1.3 und 3.1.4 bereits gezeigt, dass $\begin{array}{rcl} f (z) = const & \Rightarrow & f^{'} (z) = 0, \\ f (z) = z & \Rightarrow & f^{'} (z) = 1 . \end{array}$

Zur Berechnung der Ableitung des Monomes $f (z) = z^{n}$ , $n \in ℕ$ kann man den Differentenquotienten mit Hilfe des binomischen Satzes auswerten

φ (z^{n}; h, z) = h^{- 1} ({(z + h)}^{n} - z^{n}) = \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n}{k}) z^{k} h^{n - k - 1} \overset{h \to 0}{\to} (\binom{n}{n - 1}) z^{n - 1},

und erhält damit

f (z) = z^{n} \Rightarrow f^{'} (z) = n z^{n - 1}, n \in ℕ .

Die Linearität der Ableitung erlaubt nun die Differentiation von Polynomen

f (z) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} z^{k} \Rightarrow f^{'} (z) = \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k + 1} (k + 1) z^{k} .

Insbesondere folgt daraus, dass ein Polynom vom Grad $n = 1, 2, \dots$ bei der Differentiation stets in ein Polynom vom Grad $n - 1$ übergeht.

Für $z \neq 0$ wurde die Ableitung der Funktion $\frac{1}{z}$ im Beispiel 3.1.5 als

f (z) = \frac{1}{z} \Rightarrow f^{'} (z) = - \frac{1}{z^{2}}, z \neq 0,

berechnet. Die Anwendung der Kettenregel ergibt für $z \neq 0$ und $n \in ℕ$

{(z^{- n})}^{'} = {(\frac{1}{z} \circ (z^{n}))}^{'} = (- \frac{1}{z^{2}} \circ (z^{n})) \cdot {(z^{n})}^{'} = - \frac{1}{z^{2 n}} \cdot n z^{n - 1}

und folglich

f (z) = z^{- n} \Rightarrow f^{'} (z) = - n z^{- (n + 1)}, n \in ℕ, z \neq 0 .

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3.4.1 Polynome und negativ ganzzahlige Potenzen von z.

3.4.1 Polynome und negativ ganzzahlige Potenzen von $z$ .