Konvergenz im Raum C(X, K).

Damit ist

(C (X, K), d_{C})

ein metrischer Raum. Eine

ε

-Umgebung einer Funktion

f

C (X, K)

besteht damit aus allen Funktionen

g \in C (X, K)

, für welche

gilt. Daraus folgt natürlich

| f (x) - g (x) | < ε

für alle

x \in X

. Da

X

kompakt ist, so ist letztere Ungleichung auch hinreichend. Tatschlich, die Funktion

ε - | f (x) - g (x) |

ist stetig und positiv, woraus nach Satz 2.13.7

und

max_{x \in X} | f (x) - g (x) | \leq ε - ε_{1} < ε

folgt. Für kompakte

X

gilt also

Mit dem Begriff des Abstandes in

C (X, K)

ist auch die Konvergenz in diesem Raum definiert. Es sei

{f_{n}}_{n \in ℕ}

eine Folge von Funktionen

f_{n} \in C (X, K)

. Entsprechend Definition 2.2.3 und (2.82) gilt

\begin{array}{rcl} f_{n} \overset{C (X, K)}{\to} g & \overset{def}{\Leftrightarrow} & \forall_{ε > 0} \exists_{N (ε) \in ℕ} \forall_{n \geq N (ε)} f_{n} \in U_{ε} (g) \\ \Leftrightarrow & \forall_{ε > 0} \exists_{N (ε) \in ℕ} \forall_{n \geq N (ε)} \forall_{x \in X} | f_{n} (x) - g (x) | < ε . & (2.83) \end{array}

Definition 2.15.2. Eine Funktionenfolge ${f_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ , $f : X \to M_{2}$ konvergiert gleichmässig gegen $g : X \to M_{2}$ , wenn die Aussage

\forall_{ε > 0} \exists_{N (ε) \in ℕ} \forall_{n \geq N (ε)} \forall_{x \in X} | f_{n} (x) - g (x) | < ε

wahr ist.

Konvergenz in

C (X, K)

ist damit gleichbedeutend mit der gleichmässigen Konvergenz einer Folge stetiger Funktionen

{f_{n}}_{n \in ℕ}

gegen eine stetige Funktion

g \in C (X, K)

Konvergiert

{f_{n}}_{n \in ℕ}

gegen eine Funktion

g

, so konvergiert für jedes

x \in X

die Folge von Funktionswerten

{f_{n} (x)}_{n \in ℕ}

K

gegen

g (x)

. Dieser Sachverhalt wird mit punktweiser Konvergenz umschrieben:

Definition 2.15.3. Eine Funktionenfolge ${f_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ , $f : X \to M_{2}$ konvergiert punktweise gegen $g : X \to M_{2}$ , wenn die folgende Aussage wahr ist:

\forall_{x \in X} g (x) = lim_{n \to \infty} f_{n} (x) .

In der

ε

δ

-Sprache lässt sich die punktweise Konvergenz folgendermaßen beschreiben

Zeigen Sie, dass der Grenzwert (Grenzfunktion)

g

einer gleichmässigen bzw. einer punktweise konvergenten Funktionenfolge, sofern er existiert, eindeutig bestimmt ist.

Vergleicht man (2.83) und (2.84), so erkennt man, dass bei der punktweisen Konvergenz die Wahl von

N

für gegebenes

ε

i.A. vom Argument

x

abhängig ist, während bei der gleichmässigen Konvergenz

N

unabhängig von

x

gewählt werden kann.

Problem 2.15.4. Wie bereits gesagt impliziert die gleichmässige Konvergenz von ${f_{n}}_{n \in ℕ}$ gegen $g$ die punktweise Konvergenz von ${f_{n}}_{n \in ℕ}$ gegen dieselbe Funktion $g$ . Die Umkehrung ist i.A. nicht wahr, d.h. punktweise konvergente Folgen müssen nicht notwendigerweise gleichmässig konvergieren. Finden Sie ein Gegenbeispiel!

2.15.3 Konvergenz im Raum C(X, K).

2.15.3 Konvergenz im Raum $C (X, K)$ .