Beweis. Wir betrachten eine Funktionenfolge ${\left\{f_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}\in CF\left(C\left(X,K\right)\right)$ und werden die Existenz einer Funktion $g\in C\left(X,K\right)$ nachweisen, gegen welche ${\left\{f_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$ in $C\left(X,K\right)$ konvergiert.

Schritt 1. Ist ${\left\{f_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge in $C\left(X,K\right)$, so gilt

$${\forall }_{\epsilon >0}{\exists }_{N_{\epsilon }}{\forall }_{n,m>N_{\epsilon }}\underset{\underset{x\in X}{max}|f_n\left(x\right)-f_m\left(x\right)|}{\underbrace{\parallel f_n-f_m{\parallel }_C}}<\epsilon .$$

(2.85)

Damit sind für beliebiges $x\in X$ die Folgen der Funktionswerte ${\left\{f_n\left(x\right)\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$ Cauchy-Folgen in $K$. Aufgrund der Vollständigkeit von $K$ existiert damit für jedes $x\in X$ ein Grenzwert in $K$, welchen wir mit $g\left(x\right)$ bezeichnen

Mit anderen Worten: Es existiert ein punktweiser Grenzwert $g$ der Cauchy-Folge ${\left\{f_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$.

Im Schritt 2 zeigen wir, dass die auf diese Weise definierte Abbildung $g:X\to K$ in $X$ stetig ist, d.h. $g\left(x\right)\in C\left(X,K\right)$. Nach (2.85) gibt es zu jedem $\epsilon =ϵ∕3>0$ ein $N_{\epsilon }\in \mathbb{N}$, so dass für beliebiges $x\in X$

gilt. Wir können nun für jedes einzelne $x\in X$ in dieser Ungleichung zum Grenzwert $m\to \infty$ übergehen und erhalten

$$|f_n\left(x\right)-g\left(x\right)|\le \epsilon ,n\ge N_{\epsilon },x\in X.$$

(2.86)

Es sei $x_0$ ein beliebiger Punkt in $X$. Da $f_n$ stetig in $X$ und damit im Punkt $x_0$ ist, so gilt

$${\forall }_{\epsilon >0}{\exists }_{\delta =\delta \left(x_0,\epsilon \right)>0}{\forall }_{x\in X\cap U_{\delta }\left(x_0\right)}{f}_n\left(x\right)\in U_{\epsilon }\left(f\left(x_0\right)\right).$$

(2.87)

Für die Funktion $g$ erhält man für $x\in U_{\delta }\left(x_0\right)\cap X$ nach (2.86) und (2.87) mit Hilfe der Dreiecksungleichung folgende Abschätzung²⁰ $$\begin{array}{rcll}|g\left(x\right)-g\left(x_0\right)|& \le & |g\left(x\right)-f_n\left(x\right)|+|g\left(x_0\right)-f_n\left(x_0\right)|+|f_n\left(x\right)-f_n\left(x_0\right)|& \\ & <& \epsilon +\epsilon +\epsilon \le ϵ.& \end{array}$$

Damit ist $g$ im Punkt $x_0$ stetig, Da $x_0$ beliebig gewählt war, so ist $g$ in der gesamten Menge $X$ stetig.

Als Schritt 3 bleibt zu zeigen, dass ${\left\{f_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $g$ in der Metrik von $C\left(X,K\right)$ konvergiert. Dies folgt aber sofort aus (2.86), da damit

für alle $n\ge N_{\epsilon ∕2}$. □

Beweis. Die gleichmässige Konvergenz von ${\left\{f_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $g$ bedeutet, dass

Wendet man für $n,m\ge N_{\epsilon }$ für jedes $x\in X$ individuell die Dreiecksungleichung

an, so folgt

Damit ist ${\left\{f_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge in $C\left(X,K\right)$ und besitzt wegen der Vollständigkeit von $C\left(X,K\right)$ einen Grenzwert $\tilde{g}\in C\left(X,K\right)$. Da die Konvergenz in $C\left(X,K\right)$ der gleichmässigen Konvergenz entspricht, so gilt wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes bei gleichmässiger Konvergenz $g=\tilde{g}$ und folglich $g\in C\left(X,K\right)$. □