C(X, K) als normierter Raum.

Wir setzen jetzt zusätzlich voraus, dass

X

eine kompakte Menge in

M_{1}

ist. Als Komposition stetiger Funktionen ist

| f |

stetig für

f \in C (X, K)

. Nach dem Satz von Weierstrass ist

| f (x) |

beschränkt auf

X

und nimmt zudem das Maximum an. Deshalb ist die Abbildung

Beweis. Wir müssen die Axiome 2.25 überprüfen.

Aus $| f (x) | \geq 0$ folgt $∥ f ∥_{C} = max_{x \in X} | f (x) | \geq 0$ . Falls $∥ f ∥_{C} = 0$ so ist $max_{x \in X} | f (x) | = 0$ und damit auch $f (x) = 0$ für alle $x \in X$ , d.h. $f$ ist das neutrale Element bezüglich der Addition.

Für beliebiges $α \in K$ gilt zudem $\begin{array}{rcl} ∥ α f ∥_{C} & = max_{x \in X} | (α f) (x) | & = max_{x \in X} | α f (x) | = max_{x \in X} | α | | f (x) | \\ = | α | max_{x \in X} | f (x) | = | α | ∥ f ∥_{C} . \end{array}$

Zur Überprüfung der Dreiecksungleichung stellen wir fest, dass das Maximum

∥ f + g ∥_{C} = max_{x \in X} | (f + g) (x) | = | (f + g) (x_{+}) |

in einem Punkt $x_{+} \in X$ angenommen wird. Damit gilt nach der Dreiecksungleichung in $K$ $\begin{array}{rcl} ∥ f + g ∥_{C} & = & | f (x_{+}) + g (x_{+}) | \leq | f (x_{+}) | + | g (x_{+}) | \\ \leq & max_{x \in X} | f (x) | + max_{x \in X} | g (x) | = ∥ f ∥_{C} + ∥ g ∥_{C} . \end{array}$

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2.15.2 C(X, K) als normierter Raum.

2.15.2 $C (X, K)$ als normierter Raum.