Stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Der Satz von Weierstrass.

Theorem 2.13.5. Es sei $X$ eine kompakte Teilmenge von $M_{1}$ und die Funktion $f : X \to M_{2}$ sei stetig in $X$ . Dann ist das Bild $f (X)$ von $f$ eine kompakte Teilmenge von $M_{2}$ .

Beweis. Es sei ${y_{k}}_{k \in ℕ}$ eine beliebige Folge von Bildpunkten $y_{k} \in f (X)$ . Dann gibt es eine (nicht notwendigerweise eindeutig bestimmte) Folge von Argumenten ${x_{k}}_{k \in ℕ}$ aus $X$ mit $f (x_{k}) = y_{k}$ . Da $X$ kompakt ist, so existiert eine Teilfolge ${x_{k_{j}}}_{j = 1}^{\infty}$ von ${x_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ , welche gegen ein Element $x^{*} \in X$ konvergiert. Aus der Stetigkeit von $f$ folgt

lim_{k_{j} \to \infty} y_{k_{j}} = lim_{k_{j} \to \infty} f (x_{k_{j}}) = f (lim_{k_{j} \to \infty} x_{k_{j}}) = f (x^{*}),

d.h. die zu ${x_{k_{j}}}_{j = 1}^{\infty}$ wegen $y_{k_{j}} = f (x_{k_{j}})$ zugehörige Teilfolge ${y_{k_{j}}}_{j = 1}^{\infty}$ konvergiert gegen $f (x^{*}) \in f (X)$ . Damit ist $f (X)$ kompakt. □

Der folgende Satz von Weierstrass spielt in der Theorie stetiger Funktionen auf kompakten Mengen eine zentrale Rolle:

Theorem 2.13.6. Es sei $(M, d)$ ein metrischer Raum und $X$ sei eine kompakte Teilmenge von $M$ . Die Funktion $f : X \to ℝ$ sei stetig in $X$ . Dann ist das Bild $f (X)$ beschränkt und es existieren Elemente $x_{\pm} \in X$ , so dass

f (x_{-}) = min_{x \in X} f (x), f (x_{+}) = max_{x \in X} f (x) .

(2.78)

Mit anderen Worten: Eine auf einer kompakten Menge definierte stetige Funktion nimmt ihren größten und kleinsten Funktionswert an.

Beweis. Nach Satz 2.13.5 ist $f (X)$ eine kompakte Teilmenge von $ℝ$ . Diese ist nach dem Satz von Bolzano beschränkt. Nach Satz 2.13.4 existieren zudem Werte $y_{\pm} \in f (X)$ mit der Eigenschaft

y_{+} = max f (X), y_{-} = min f (X) .

Da die Werte $y_{\pm}$ zum Bild von $f$ gehren, so gibt es Punkte $x_{\pm} \in X$ mit $y_{-} = f (x_{-})$ und $y_{+} = f (x_{+})$ . Diese erfüllen die Eigenschaft (2.78). □

Die folgende Aussage beschreibt eine typische Anwendung des Satzes von Weierstrass:

Theorem 2.13.7. Die Funktion $f : [a, b] \to ℝ$ sei stetig in $[a, b]$ und nehme nur positive Funktionswerte an. Dann existiert ein $ε > 0$ , so dass

\forall_{x \in [a, b]} f (x) \geq ε > 0 .

Man kann in diesem Fall also die Ungleichung

f (x) > 0

(Positivität) zu

f (x) \geq ε > 0

verschärfen! Die Funktionswerte einer stetigen, positiven Funktion auf einem kompakten Intervall sind vom Wert

0

isoliert.

Beweis. Das abgeschlossene Intervall $[a, b]$ ist kompakt in $ℝ$ . Nach dem Satz von Weierstrass existiert dann ein Punkt $x_{-} \in [a, b]$ mit

f (x_{-}) = min_{x \in [a, b]} f (x) .

Nach Voraussetzung ist $f (x_{-})$ positiv und wir wählen $ε = f (x_{-}) > 0$ . Dann gilt offensichtlich $f (x) \geq min_{x \in X} f (x) = ε$ . □

Problem 2.13.8. Veranschaulichen Sie sich, dass letzterer Satz nicht gilt, wenn man entweder offene oder halboffene Intervalle als Definitionsbereich zulässt (Verletzung der Kompaktheit) bzw. wenn man auf die Stetigkeit von $f$ verzichtet. Finden Sie geeignete Gegenbeispiele!

2.13.3 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Der Satz von Weierstrass.