Die Struktur des reellen linearen Vektorraumes.

2.6.1 Die Struktur des reellen linearen Vektorraumes.

Eine Menge $X$ nennt man einen reellen linearen Vektorraum, wenn auf $X$ eine Addition $+ : X \times X \to X$ sowie die Multiplikation von Elementen aus $X$ mit reellen Zahlen $\cdot : ℝ \times X \to X$ definiert sind, welche folgende Eigenschaften erfüllen:

\begin{matrix} \forall_{x, y \in X} & x + y & = & y + x, \\ \forall_{x, y, z \in X} & (x + y) + z & = & x + (y + z), \\ \exists_{0 \in X} \forall_{x \in X} & x + 0 & = & x, \\ \forall_{x \in X} \exists_{- x \in X} & x + (- x) & = & 0, \\ \forall_{α, β \in ℝ} & α \cdot (β \cdot x) & = & (α β) \cdot x, \\ \forall_{x \in X} & 1 \cdot x & = & x, \\ \forall_{α, β \in ℝ} \forall_{x \in X} & (α + β) \cdot x & = & (α \cdot x) + (β \cdot x), \\ \forall_{α \in ℝ} \forall_{x, y \in X} & α \cdot (x + y) & = & (α \cdot x) + (α \cdot y) . \end{matrix}

(2.22)

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