C'est par la logique que l'on prouve
et par l'intuition que l'on découvre.
— Mit der Logik beweisen wir,
mit der Intuition entdecken wir.
Henri Poincaré (1854–1912)

Topologie

Die Topotastischen Vier 2020 Calamity on the C@mpus

Vorlesung im SoSe 2020.
Dozent: Michael Eisermann.
Assistentin: Friederike Stoll.
Tutoren: Carlo Klapproth und Manuel Rosenbaum.

Aktuelle Informationen und die Terminplanung zur Topologie finden Sie in unserem Ilias-Kurs. Er wird regelmäßig aktualisiert... Bitte halten Sie sich auf dem Laufenden!

Rückmeldungen? Ich freue mich über Ihre Kommentare und Anregungen! Bitte lassen Sie mich wissen, wie Ihnen die Veranstaltung gefällt, wie Sie mit dem Stoff zurecht kommen, und was sich verbessern lässt. Es ist Ihr Studium! > Umfrage der Fachgruppe/Stuvus (pdf)

Als Herr K. hörte, daß er von früheren Schülern gelobt wurde,
sagte er: "Nachdem die Schüler schon längst die Fehler des Meisters
vergessen haben, erinnert er selbst sich noch immer daran."
Bertolt Brecht (1898–1956), Herr K. und das Lob

Aktuelles zur Topologie

Das Semester ist beendet, die Messe ist gelesen, gehet hin in Frieden. Möge die Mathematik mit Euch sein! Diese Seite wird nicht mehr regelmäßig aktualisiert; sie wird aber noch längere Zeit zugänglich bleiben, um als Archiv zu dienen. Zur Übersicht: aktuelle und vergangene Lehrveranstaltungen

Klausur vom Mittwoch, den 09.09.2020, von 8 bis 10 Uhr im Hörsaal V47.02: Klausurtext, Lösungen. Es waren keine Hilfsmittel zugelassen. Die Klausur ist bereits korrigiert und höchst erfreulich ausgefallen. Ihr Ergebnis finden Sie in C@mpus. Zur Klausureinsicht melden Sie sich bitte bei Frau Stoll.

We choose to study Topology this very semester,
not because it is easy, but because it is hard,
because that goal will serve to organize and
measure the best of our energies and skills.
frei nach John F. Kennedy (1917–1963)

Stundenplan

Zur Erinnerung an die gute alte Zeit vor Corona... und als Hoffnung auf bessere Zeiten:

Vorlesung Topologie im Sondersemester 2020

Auf dieser Seite finden Sie: Als Aperitif ein paar geometrische Anwendungen der Topologie mit einem kurzen Überblick zur Einleitung und Motivation. Ein paar Worte zur Zielsetzung und Literatur, zur Organisation der Vorlesung und der Übungen, sowie Themen und Termine. Schließlich meine Notizen zur Topologie als Angebot zum Nachlesen.

In den letzten Jahren hat diese Vorlesung dem Team und den meisten Teilnehmer:innen viel Freude bereitet, sie wurde sogar mehrfach mit Preisen ausgezeichnet:

• Dem Vorlesungspreis 2016/17, 2018/19 und 2019/20 der Fachschaft Mathematik
• Dem Lehrepreis 2017 der Universität Stuttgart
• Dem Stuvus-Sonderpreis für digitale Lehre 2020/21
• Der gestrickten Kleinschen Flasche

 
Diese weltweit einzigartige Kleinsche Tasche wurde von Friederike Stoll handgestrickt, vom globalen Plan bis zum liebevollen Detail, eine sensationelle Hand- und Kopfarbeit! Die Tasche ist innen weiß und außen schwarz. Zudem sind Innen und Außen dasselbe. Also ist Schwarz gleich Weiß. (Glauben Sie nicht alles, was Sie im Internet lesen, sondern prüfen Sie alles sorgfältig und achten Sie auf Zebrastreifen!)

Has he lost his mind? / Can he see or is he blind?
Can he walk at all, / Or if he moves will he fall?
Is he alive or dead? / Has he thoughts within his head?
We'll just pass him there. / Why should we even care?
Black Sabbath, Iron Man

Aperitif – ein Vorgeschmack auf die Topologie

Topology should not be viewed as an advanced subject
whose theorems and concepts should be avoided until graduate school.
Rather it is the study of continuity, and thus underlies the most basic geometric results.
Daniel Henry Gottlieb

Was ist Topologie? Ein bekannter Scherz lautet: In der Topologie unterscheidet man nicht zwischen einer Kaffeetasse und einem Doughnut. — Wenn Sie hierüber schmunzeln können, dann sind Sie hier richtig. Andernfalls lesen Sie besser hier weiter.

Topologie ist qualitative Geometrie, vollkommen konkret und zugleich wunderbar abstrakt. Sie untersucht grundlegende Konzepte wie Konvergenz und Stetigkeit, Kompaktheit und Zusammenhang, Simplizialkomplexe und Mannigfaltigkeiten, lokale und globale Eigenschaften, Homöomorphismen und Invarianten, Fundamentalgruppen und Überlagerungen, Fixpunktsätze und vieles mehr. Dank Allgemeinheit werden topologische Begriffe und Methoden nahezu überall angewendet, von Geometrie bis Physik, von Algebra bis Spieltheorie. Die Vorlesung vermittelt hierzu die notwendigen Grundlagen und erste Ein- und Ausblicke.

Warnhinweise und Nebenwirkungen

Abstraktion ist eine starke Droge, doch wohldosiert erlaubt sie phantastische Anwendungserfolge. Eine Unterdosierung verlängert das Leiden an undurchsichtigen Beispielen und kann Stumpfsinn verursachen. Eine Überdosierung hingegen kann zu Schwindelgefühl und Realitätsverlust führen. Bei Zweifeln sprechen Sie bitte mit Ihren Dozenten, Assistenten oder Tutoren — oder einem Topologen ihres Vertrauens.

Den Lesern wird im Folgenden die Bereitschaft abverlangt, altgewohnte Denkmuster aufzugeben und sich unvoreingenommen mit topologischen Fragen zu befassen. Eine Traumatisierung zartbesaiteter Leser kann nicht ausgeschlossen werden!

Zur Erheiterung und als Vorgeschmack will ich hier kurz ein paar anschauliche Anwendungen der Topologie vorstellen. Es gibt, wie für jede erfolgreiche Theorie, unzählige weitere Anwendungen, aber ich wähle hier nur wenige aus, die eine besonders hübsche Einkleidung erlauben und darunter den technischen Apparat zu verstecken vermögen. Ihre Darstellung mag daher scherzhaft sein, doch der mathematische Kern ist durchaus ernsthaft. Für besonders Mutige gibt's auf Klick weitere Erläuterungen.

Wie Luitzen Brouwer seinen Kaffee umrührt

Können Sie eine Tasse Kaffee so gründlich umrühren, dass kein Punkt bleibt wo er war? Natürlich soll dabei der Kaffee in der Tasse bleiben und die Tasse am selben Ort... Also, geht das?

Erstaunlich aber wahr: Das ist unmöglich!

Brouwers berühmter Fixpunktsatz besagt nämlich, dass jede stetige Abbildung \( f : [0,1]^n \to [0,1]^n \) einen Fixpunkt besitzt, also einen Punkt \( x \in [0,1]^n \) für den \( f(x) = x \) gilt. Dasselbe gilt für jede konvexe, beschränkte, abgeschlossene Menge im \( \R^n \), wie etwa den Kaffee in Ihrer Tasse, vorausgesetzt diese hat keine allzu unübliche Form.

Ich mache hier stillschweigend eine Reihe von Annahmen über die physikalische Beschaffenheit des Raumes und des Kaffees – darüber ließe sich streiten. Das mathematische Modell hingegen besticht durch seine Einfachheit und Allgemeinheit, und die Schlussfolgerung ist unumstößlich, so unglaublich sie auch erscheinen mag.

In Dimension \(n=1\) folgt Brouwers Satz aus dem Zwischenwertsatz für stetige reelle Funktionen auf dem Intervall \([0,1]\). (Versuchen Sie es!) In Dimension \(n \ge 2\) gelingt der Beweis allerdings nicht so leicht. (Versuchen Sie auch dies!) Hierzu stellt diese Vorlesung über Topologie die nötigen Hilfsmittel bereit.

Zweidimensionales Beispiel: Nehmen Sie zwei identische Blatt Papier. Wenn Sie diese übereinander legen, dann entsprechen sich je zwei übereinanderliegende Punkte. Nun zerknüllen Sie das obere Blatt und legen es irgendwie auf das untere. Dann gibt es stets mindestens ein Punktepaar, das wie zuvor übereinander liegt.

Brouwers Satz und seine vielfältigen Verallgemeinerungen haben über das Kaffeetrinken und Papierzerknüllen hinaus mannigfaltige Anwendungen, zum Beispiel zur Existenz von Lösungen gewisser (Differential-)Gleichungen oder zur Existenz von Gleichgewichten in der Spieltheorie oder in ökonomischen Modellen.

Wie Karol Borsuk und Stanislaw Ulam sich ein Stück Marmorkuchen teilen

Jedes Stück Kuchen kann man durch einen geraden senkrechten Schnitt in zwei gleich große Teile zerlegen.

Was aber, wenn es sich um einen Marmorkuchen handelt, und in beiden Teilen auch noch gleich viel Schokolade sein soll? Geht das auch mit einem geraden senkrechten Schnitt?

Erstaunlich aber wahr: Das geht tatsächlich immer!

Hier sorgt die Mathematik für Gerechtigkeit... Zumindest garantiert Sie die Möglichkeit, gerecht zu teilen. Alles andere ist – wie immer – Menschenwerk.

Eine Dimension höher nennt man dieses Ergebnis auch den Satz vom Schinken-Käse-Brot, auf englisch Ham sandwich theorem. Der Satz gilt ganz allgemein in beliebiger Dimension und folgt aus dem schönen Satz von Borsuk-Ulam:

Zu jeder stetigen Abbildung \(f\) von der Einheitssphäre \(\S^n\) in den euklidischen Raum \(\R^n\) existiert ein Paar antipodaler Punkte \(x,y \in \S^n\) mit \(x = -y\) und \(f(x)=f(y)\).

In Dimension \(n=1\) folgt der Satz von Borsuk-Ulam aus dem Zwischenwertsatz. (Versuchen Sie es!) In Dimension \(n\ge2\) gelingt der Beweis allerdings nicht so leicht. (Versuchen Sie auch dies!) Die Auflösung folgt in der Vorlesung.

Was bedeutet die Dimension?

Bei Kaffee und Kuchen philosophieren vier Mathematiker (ein Algebraiker, ein Differentialgeometer, ein Topologe und ein Mengentheoretiker) über den Begriff der Dimension: Unter welchen Bedingungen sind die Räume \(\R^m\) und \(\R^n\) isomorph?

1. Linear vermöge eines \(\R\)-Vektorraumisomorphismus?
2. Differenzierbar vermöge eines Diffeomorphismus?
3. Topologisch vermöge eines Homöomorphismus?
4. Als bloße Mengen vermöge einer Bijektion?

Wie lautet jeweils die Antwort? Und wie beweist man sie?

Zunächst zur ersten und einfachsten Frage: Unter welchen Bedingungen sind die \(\R\)-Vektorräume \(\R^m\) und \(\R^n\) isomorph? Richtig, das geht nur für \(m=n\). Dieses wichtige Ergebnis beweist man in der linearen Algebra, und es begründet die Dimension von \(\R\)-Vektorräumen (oder allgemeiner von Vektorräumen über einem beliebigen Körper). Dieser fundamentale Begriff ist, wie Sie wissen, ungemein nützlich. Allgemeiner gilt: Ist eine lineare Abbildung \( \R^m \to \R^n \) surjektiv, dann gilt \(m \ge n\); ist sie injektiv, dann gilt \(m \le n\). Dies ist ein Spezialfall des Rangsatzes der linearen Algebra.

Der Übergang von linearen zu differenzierbaren Abbildungen ist naheliegend und das Erfolgsrezept der Differentialrechnung: Unter welcher Bedingung sind \(\R^m\) und \(R^n\) diffeomorph? Richtig, auch das geht nur für \(m=n\). Man beweist dies leicht durch ein lokales (infinitesimales) Argument: Jede in einem Punkt \(x\) differenzierbare Abbildung \( f : \R^m \to \R^n \) erlaubt ein Differential, also eine lineare Abbildung \( D_x f : \R^m \to \R^n \). Dies definiert einen Funktor von differenzierbaren zu linearen Abbildungen, und man benutzt ganz bequem und selbstverständlich das obige Ergebnis der linearen Algebra. Allgemeiner gilt: Ist eine stetig differenzierbare Abbildung \( \R^m \to \R^n\) (lokal) surjektiv, dann gilt \(m \ge n\); ist sie (lokal) injektiv, dann gilt \(m \le n\). Dies ist ein Spezialfall des Rangsatzes der Differentialrechnung.

Gehen wir schließlich von glatten zu stetigen Abbildungen: Unter welcher Bedingung sind \(\R^m\) und \(\R^n\) homöomorph? Sie vermuten richtig, auch das geht nur für \(m=n\). Aber wie beweist man eine so allgemeine Aussage? Stetige Abbildungen können sehr irregulär sein! Insbesondere stehen uns die so überaus nützliche lineare Algebra und Differentialrechnung nicht mehr zur Verfügung: Es gibt stetige Funktionen, die nirgends differenzierbar sind.

Es kommt noch schlimmer: Es gibt stetige surjektive Abbildungen \(\R^m \to \R^n\) nicht nur für \(m \ge n \) sondern auch für beliebige \(1 \le m \le n \)! Warum sollte es nicht auch stetige Bijektionen \(\R^m \to \R^n\) geben? Allgemeiner gefragt: Wenn eine stetige Abbildung \(R^m \to \R^n\) (lokal) injektiv ist, gilt dann \(m \le n \)? Für jeden Hömöomorphismus \(\R^m \to \R^n\) gälte dann insbesondere \(m \le n\) und \(n \le m\), also \(m = n\) wie vermutet.)

Die lineare Algebra und Differentialrechnung helfen uns hier jedenfalls nicht mehr, da sie sich nicht auf so allgemeine, stetige Funktionen anwenden lassen. Hier brauchen wir raffiniertere Werkzeuge der Topologie. Die topologische Invarianz der Dimension wurde erstmals 1910 von Brouwer bewiesen. Vor 1910 war der Satz ein berühmtes Problem, das als sehr beunruhigend empfunden wurde. Sie ahnen jetzt vielleicht warum.

Für Mengen ohne weitere Struktur sieht die Situation ganz anders aus: Für jedes Paar \(m,n \ge 1\) existieren Bijektionen \(\R^m \to \R^n\). Anders gesagt, die Räume \(\R^m\) und \(\R^n\) sind gleichmächtig, enthalten also gleichviele Elemente. Entgegen unserer Intuition ist für \(m \le n\) die Menge \(\R^m\) also keineswegs kleiner als \(\R^n\). Es ist allein die zusätzliche (topologische/differenzierbare/lineare) Struktur, die den Unterschied ausmacht!

Der Satz vom gekämmten Igel

Kann man einen Igel wirbelfrei kämmen? (Klarstellung: In dieser Vorlesung kommen weder Personen noch Tiere zu Schaden!)

Herrscht jederzeit an mindestens einem Ort der Erde Windstille? (Inwiefern hängt die Antwort von der Form der Erde ab?)

Ja, letzteres ist in der Tat immer der Fall: Auf der zweidimensionalen Sphäre \(\S^2\) hat jedes stetige tangentiale Vektorfeld mindestens eine Nullstelle. Dies nennt man den Satz vom gekämmten Igel (auf englisch auch hairy ball theorem): Jeder stetig gekämmte Igel hat mindestens eine kahle Stelle.

Die meteorologische Anwendung macht stillschweigend die Annahme, dass wir nur die horizontale Windgeschwindigkeit betrachten. Der Satz besagt dann, dass es mindestens einen windstillen Punkt geben muss, zum Beispiel das Auge eines Zyklons oder Antizyklons. Ich nehme hier natürlich an, dass die Erde eine dreidimensionale Kugel ist und demnach die Erdoberfläche eine zweidimensionale Sphäre. Und was, wenn die Erde eine andere Form hätte? Auf dem Torus gilt die obige Aussage jedenfalls nicht. (Zeigen Sie dies!)

Klassifikation der kompakten Flächen

Die Kugeloberfläche hat Geschlecht 0 (kein Loch), hingegen hat die Oberfläche eines Doughnuts Geschlecht 1 (ein Loch). Sind sie deshalb verschieden? Was bedeutet das genau und wie beweist man es?

Ebenso wie der Doughnut hat auch die Oberfläche einer Kaffeetasse Geschlecht 1 (durch den Henkel). Sind beide Oberflächen allein deshalb schon topologisch gleich? Ober brauchen wir hierzu noch genauere Informationen?

Die Klassifikation der Flächen ist einer der Höhepunkte der Vorlesung. Die anschauliche Bedeutung ist leicht zu verstehen, ihre präzise Formulierung fordert und fördert unser topologisches Vokabular, und die Ausführung des Beweises mobilisiert nahezu alle Techniken dieser Vorlesung.

Zu den Flächen gehören die zweidimensionale Sphäre (also die Kugeloberfläche), ebenso der Torus (die Oberfläche eines Vollrings), der Doppeltorus (mit zwei Löchern), die Oberfläche eines Brezels (mit drei Löchern), und so weiter...

...

Das Klassifikationsproblem besteht (wie immer) aus zwei Fragen:

1. Welche Flächen gibt es? Wie können wir hierzu einfache Modelle auflisten?
2. Wie stellt man zu zwei gegebenen Flächen fest, ob sie gleich oder verschieden sind? Sind insbesondere die obigen Modelle untereinander verschieden?

Die Vorlesung wird hierzu (weitgehend zufriedenstellende) Antworten geben. Wenn wir den einfachsten Fall betrachten, nämlich kompakte, zusammenhängende, orientierbare Flächen ohne Rand, dann ist die obige Liste vollständig und redundanzfrei.

Wir werden hierzu den Satz von Tibor Radó voraussetzen, dass jede Fläche trianguliert werden kann. Für triangulierte Flächen werden wir dann die Klassifikation mit vergleichsweise einfachen, kombinatorischen Mitteln durchführen können.

Darauf sollte man anstoßen – mit einem edlen Tropfen aus der Kleinschen Flasche!

Es handelt sich bei diesem wundersamen Wesen um eine geschlossene, nicht-orientierbare Fläche. Sie besitzt nur eine einzige Seite, so dass innen und außen gleich sind!

Die Kleinsche Flasche lässt sich nicht in den dreidimensionalen euklidischen Raum einbetten: Man muss daher zu einer dreidimensionalen Darstellung (harmlose) Selbstdurchdringungen erlauben. Hier ein Polyedermodell und eine Legoskulptur:

Man kann auch wohlgeformt glatte Kleinsche Flaschen in vielen Formen und Größen käuflich erwerben: Bei der Firma ACME Klein Bottle hat offenbar jemand viel Spaß an Topologie und viel Sinn für Humor!

Flächen mit nur einer Seite? Diese verblüffende Eigenschaft kennen Sie sicherlich vom Möbius-Band, das aus Papier leicht herzustellen ist. Wenn Sie genau hinschauen, entdecken Sie das Möbius-Band als Teil der Kleinschen Flasche. Genauer: Die Kleinsche Flasche entsteht aus zwei Möbius-Bändern durch Verkleben längs der Ränder. Die Einbettung eines Möbius-Bandes in eine Fläche ist äquivalent zur Nicht-Orientierbarkeit.

Das Möbius-Band findet tatsächlich praktische Anwendung: Flachriemen kann man als Möbius-Band herstellen, damit sich „beide Seiten” des Bandes gleichmäßig abnutzen.

Es handelt sich um eine einseitige Fläche! Die hier zu lesende Inschrift geht über die gesamte Fläche und erzählt folgende Variante der längsten Geschichte der Welt:

......

Diese unendliche Geschichte auf ein zylinderförmiges Band zu schreiben, spart unendlich viel Papier. Zudem erzählt die Geschichte so auch ihre eigene Vorgeschichte. Ein Möbius-Band zu benutzen, reduziert die Papierkosten um weitere 50%. Wow! Der mathematisch geschulte Blick erkennt hier die Orientierungsüberlagerung, allgemeiner Fundamentalgruppen und Untergruppen von Index 2 oder äquivalent hierzu Decktransformationsgruppen von Überlagerungen.

Zugegeben, dies ist ein leicht durchschaubares Beispiel. Es gibt hierzu auch literarisch ausgefeilte Werke. Die globale Struktur des Romans „The Gift” von Vladimir Nabokov, zum Beispiel, wird oft mit einem Möbius-Band verglichen. Dieser Roman ist zirkulär: Am Ende beschließt der Erzähler, den Roman zu schreiben, den der Leser gerade liest.

Wem das noch nicht verrückt genug ist, der bewundere Johann Sebastian Bachs Krebskanon aus dem Musikalischen Opfer auf einem Möbius-Band.

Möbius-Bänder liegen im Trend! Doch nicht alles, was als Möbius-Band verkauft wird, ist auch eins. Nur echt mit dem Klassifikationsatz der kompakten Flächen...

Slapenarski had knelt beside the limb body and was twisting the arms and legs into fantastic knots.
He was, in fact, folding the Wisconsin topologist as he had folded his piece of paper! Suddenly
there was a small explosion, like the backfire of a car, and under the Polish mathematician's
hands lay the collapsed clothing of Dr. Simpson. Simpson had become a nonlateral surface.
Martin Gardner, No-sided Professor

Freiheit für alle Gruppen –
Nieder mit den Relationen!

Der Satz von Nielsen-Schreier besagt, dass in einer freien Gruppe jede Untergruppe frei ist. (Das ist keine politische Aussage, sondern eine mathematische.) Den Beweis kann man rein algebraisch führen, er mündet dann aber leicht in einer heillosen Rechnerei. Man kann den Beweis auch topologisch führen, indem man freie Gruppen als Fundamentalgruppen von Graphen darstellt – und alles löst sich in Wohlgefallen auf. In der Vorlesung wird dies eine schöne Anwendung der Überlagerungstheorie sein. Der Graph rechts zeigt einen unendlichen Baum: Dies ist der Cayley-Graph der freien Gruppe auf zwei Erzeugern \(a\) und \(b\), geschrieben \(F_2 = \langle a,b \mid - \rangle\). Er ist zudem ein einfaches Fraktal.

Einleitung und Motivation

Die Topologie (griechisch τόπος [tópos] ‚Ort’ und λόγος [lógos] ‚Lehre’) ist wörtlich übersetzt die „Lehre vom Ort” und handelt von der Form und gegenseitigen Lage geometrischer Objekte, wie etwa Kurven und Flächen im Raum. Die obigen Beispiele illustrieren einige geometrische Fragestellungen und erste erfolgreiche Anwendungen.

Dank ihrer vielseitig einsetzbaren Begriffe und Methoden ist die Topologie neben Analysis und Algebra eine der Grundstrukturen der modernen Mathematik und liefert Werkzeuge, um eine Vielzahl sehr unterschiedlicher Phänomene zu behandeln. Sie untersucht grundlegende Konzepte wie Konvergenz und Stetigkeit, offene und abgeschlossene Mengen, Zusammenhang und Kompaktheit, lokale vs globale Eigenschaften, Fundamentalgruppen und Überlagerungen, usw. Hierdurch steht sie in enger Wechselwirkung mit der Analysis, der Geometrie und der Algebra. Die Vorlesung vermittelt hierzu die notwendigen Grundlagen.

In Einstein's general relativity
the structure of space can change but not its topology.
Topology is the property of something that doesn't change
when you bend it or stretch it as long as you don't break anything.
Edward Witten

Als mathematische Disziplin ist die Topologie eine Schöpfung des 20. Jahrhunderts – und damit relativ jung. Sie wurde schnell zum mathematischen Grundwissen, vor allem Dank ihrer spektakulären Erfolge in vielfältigen Anwendungen und Verzweigungen (analytische, geometrische, algebraische Topologie...).

Zielsetzung der Vorlesung

Die Vorlesung soll die Grundlagen der Topologie vermitteln. Ziel sind dabei – wie immer – zwei komplementäre Kompetenzen: das Verständnis sowohl konkreter Anwendungen als auch der allgemeinen Theorie. Das eine ist ohne das andere kaum denkbar.

Es gibt nichts Praktischeres
als eine gute Theorie.
Immanuel Kant (1724–1804)

Topologische Begriffe, Methoden und Ergebnisse werden in vielen Gebieten der Mathematik verwendet, zum Beispiel der Analysis, insbesondere der Funktionalanalysis, der Geometrie, insbesondere der Differentialgeometrie, und der Algebra. Diese Vorlesung erarbeitet hierzu die nötigen Grundlagen und Werkzeuge und führt zu Vertiefungen hin, insbesondere der algebraischen Topologie, der Differentialtopologie und Differentialgeometrie, der geometrischen Topologie und Knotentheorie.

People cry, people moan
Look for a dry place to call their home
Try to find some place to rest their bones
While the angels and the devils try to make them their own
Nirvana, Lake of Fire

Einführende Literatur

Es gibt viele gute Lehrbücher zur Topologie, viele davon sind auch online verfügbar. Je nach Ausrichtung behandeln sie mehr analytische oder mehr algebraische Topologie. Die folgenden Lehrbücher unterscheiden sich in Ausrichtung und Stil, sind aber allesamt empfehlenswert:

• J. Munkres: Topology, Prentice Hall 2000.
• H. Schubert: Topologie, Teubner 1971.
• M.A. Armstrong: Basic Topology, Springer 1983.
• G. Laures, M. Szymik: Grundkurs Topologie, Springer 2009. [ebook]
• K. Jänich: Topologie, Springer 2005. [ebook]

Spezialisiertere Lehrwerke zur analytischen Topologie:

• J. Dugundji: Topology, Allyn and Bacon, 1966.
• B. von Querenburg: Mengentheoretische Topologie, Springer 2001.
• R. Engelking: General Topology, Heldermann, 1989
• L.A. Steen, J.A. Seebach: Counterexamples in Topology, Dover 1995.

Weiterführende Lehrwerke zur algebraischen Topologie und ihren geometrischen Anwendungen:

• G.E. Bredon: Topology and Geometry, Springer 1993.
• J. Stillwell: Classical Topology and Combinatorial Group Theory, Springer 1992.
• R. Stöcker, H. Zieschang: Algebraische Topologie, Teubner 1994.
• J.J. Rotman: An Introduction to Algebraic Topology, Springer 1998.
• L. Führer: Topologie mit Anwendungen, Vieweg 1977.

Es gibt auch hervorragende Bücher und gute Skripte, die online frei erhältlich sind:

• Mengentheoretische Topologie von Prof. Tammo tom Dieck (Göttingen)
• Einführung in die Topologie von Prof. Friedhelm Waldhausen (Bielefeld)
• Algebraic Topology von Prof. Allen Hatcher (Cornell)
• A concise course in algebraic topology von Prof. Peter May (Chicago)

Why waste time learning,
when ignorance is instantaneous?
Hobbes (1985–1995)

Organisation der Vorlesung

Voraussetzungen

Inhaltliche Voraussetzung sind die Grundvorlesungen Analysis und lineare Algebra: Hieraus stammen viele Beispiele, Begriffe und Fragen der Topologie, und wir werden vielfach ihre omnipräsenten Methoden verwenden. Notwendig ist insbesondere eine genaue Kenntnis der topologischen Grundbegriffe der Analysis (Metrik, Konvergenz, Stetigkeit, offene und abgeschlossene Mengen, etc.), denn diese werden in der Topologie verallgemeinert und allerorten verwendet. Abstrahieren heißt nicht ignorieren!

Allgemeine Voraussetzung: Jede ernsthafte Beschäftigung mit Wissenschaft erfordert zunächst einmal Interesse, Neugier und Offenheit für Probleme und sodann Kreativität, Sorgfalt und Hartnäckigkeit bei deren Lösung. Wie in allen fortgeschrittenen Veranstaltungen der Mathematik ist die Beherrschung grundlegender Arbeitsweisen (mathematische Sprache, Logik, Beweistechniken, ...) und Begriffsbildungen (Mengen, Abbildungen, ...) unabdingbare Voraussetzung.

Half the money I spend on advertising is wasted;
the trouble is I don't know which half.
John Wanamaker (1838–1922)

Arbeitsaufwand

Dieses Semester verläuft anders als gewünscht und gewohnt, und wir erweitern unsere Erfahrungen der letzten Jahre um neue Herausforderungen und Lösungen. Ich rechne vorläufig noch in Präsenzstunden, auch wenn diese virtuell stattfinden. Die Grundgesetze des aktiven Lernens bleiben bestehen. Ich erörtere daher nochmals eine Selbstverständlichkeit, die immer wieder Erstaunen auslöst.

Dieser Kurs wird mit 9 Leistungspunkten (also 270 Arbeitsstunden) veranschlagt:

• ca 80 Stunden Präsenz (6 Stunden wöchentlich, bestehend aus 4 Stunden Vorlesung und 2 Stunden Übung, bei etwa 14 Wochen Vorlesungszeit)
• ca 110 Stunden eigene Arbeit während der Vorlesungszeit (etwa 8 Stunden wöchentlich zur Vor- und Nachbereitung und für Hausaufgaben)
• ca 80 Stunden Prüfungsvorbereitung nach der Vorlesungszeit (etwa zwei Wochen)

Die Bemessung der nötigen eigenen Arbeitszeit beruht auf jahrzehntelanger Erfahrung. Individuelle Werte können und werden davon abweichen, nichtsdestotrotz sollen beide Seiten – Lehrende und Lernende – sich ehrlicherweise an dieser Bemessung orientieren. Sie spiegelt eine Grunderfahrung wieder, die sich alle zu Herzen nehmen müssen:

Mathematik lernt man nicht nur durch Zuschauen,
sondern durch eigene Arbeit und regelmäßige Übung!

Die Themen bauen während des Semesters aufeinander auf und sind gut aufeinander abgestimmt. Daher müssen Sie kontinuierlich mitarbeiten, Woche für Woche. Hauruck-Lernen kurz vor der Prüfung ist vollkommen aussichtslos, oft versucht, nie geglückt.

Das Verhältnis 1:2 ist dabei durchaus realistisch: Jede Präsenzstunde erfordert zusätzlich zwei Stunden eigene Arbeit. Das ist keine Übertreibung sondern regelmäßige Erfahrung. Wenn Sie glauben, dass dies auf Sie nicht zutrifft, dann sind Sie entweder ein Genie (erfreulich aber leider selten), oder ein Opfer des Dunning-Kruger-Effekts (unbelehrbar aber leider häufig). Gehen Sie sicher und finden Sie es selbst heraus: Investieren Sie für diese Vorlesung die nötigen 8 Stunden ernsthafte eigene Arbeit pro Woche!

Man kann ein Pferd zum Wasser führen, aber trinken muss es selbst.
Anonyme Weisheit, insbesondere in der universitären Lehre

Ein gutes Pferd springt nur so hoch, wie es muss.
Anonyme Dummheit, insbesondere in der universitären Lehre

Übungen

Die Mathematik ist so schön, so reich, so großzügig!
Es heißt, die Mathematik sei eine eifersüchtige Geliebte.
Das ist sie auch, doch vor allem schön, reich und großzügig.

Bitte tragen Sie sich frühzeitig in C@mpus als Teilnehmer:in ein, damit wir Sie per Email erreichen können! Zur Topologie nutzen wir einen Ilias-Kurs und die digitalen Kommunikationswerkzeuge der Universität Stuttgart. Für Ihre Fragen wenden Sie sich bitte an Frau Stoll oder mich. Auch Ihre Anregungen nehmen wir gerne entgegen.

Zur Vorlesung werden Übungsgruppen angeboten. Nehmen Sie bitte das Angebot der Übungen gewissenhaft wahr: Bearbeiten Sie Woche für Woche die Vorlesung und die Übungsaufgaben! Diese Selbstverständlichkeit mag Ihnen als lästige Pflicht erscheinen, aber nur dies strukturiert das Semester effizient. Anders wird es nicht gehen.

Übung und Vorlesung sind eng aufeinander abgestimmt. Die Vorlesung erklärt Ihnen die nötigen Begriffe und Techniken. In Übung und Hausaufgaben können / sollen / müssen Sie diese anwenden, verstehen und vertiefen. Anders wird es nicht gehen.

Übungsblätter

Die Übungsblätter werden Ihnen wöchentlich auf Ilias online zur Verfügung gestellt. Die Aufgaben sind schriftlich abzugeben, ebenfalls auf Ilias, und werden von den Tutoren korrigiert.

Abschlussklausur

Die Termine der Modulprüfung werden zentral vom Prüfungsamt organisiert, sie liegen üblicherweise im September/Oktober und Februar/März.

Themen der Vorlesung

Wer vieles bringt, wird manchem etwas bringen.
Goethe (1749–1832), Faust

1. Einleitung und Überblick: Was ist und was soll die Topologie? Das klassische Paradebeispiel: Eulers Polyederformel und die Klassifikation der Flächen.
2. Analytische Topologie: ca. 14 Vorlesungen
3. Grundlagen: Aufbau des Zahlensystems \(\N \into \Z \into \Q \into \R \into \C\), algebraische Grundstrukturen, reelle und komplexe Zahlen.
4. Metrische Räume und Vollständigkeit: Euklidische/normierte/metrische Räume, offene und abgeschlossene Mengen, Umgebungen, Konvergenz von Folgen, Stetigkeit von Abbildungen, topologische Äquivalenz von Metriken, Beispiele.
5. Topologische Räume: Topologische Räume und stetige Abbildungen, topologische Grundbegriffe, Basen und Erzeugung von Topologien, Beispiele.
6. Topologische Konstruktionen: Teilräume, Quotientenräume, Summen, Produkträume, Beispiele, Tietze-Urysohn, Metrisierung.
7. Kompaktheit: Kompaktheit, Teilräume, Produkte, Satz von Tychonoff, lokale Kompaktheit, Kompaktifizierungen, Beispiele.
8. Zusammenhang: Zusammenhang und Komponenten, Wegzusammenhang und Wegkomponenten, Funktorialität, Homotopie stetiger Abbildungen, Homotopie-Äquivalenz von Räumen, Homotopie-Kategorie.
9. Die Sprache der Kategorien: Kategorien, Funktoren, natürliche Transformationen.
10. Geometrische Topologie: ca. 9 Vorlesungen
11. Komplexe: Simpliziale Komplexe, Triangulierung topologischer Räume, Euler-Charakteristik, simpliziale Approximation, Anwendungen.
12. Abbildungsgrad und Topologie des \(\R^n\): Umlaufzahl, Abbildungsgrad, Brouwerscher Fixpunktsatz, Satz vom Igel, Satz von Borsuk-Ulam, Satz von Jordan-Schoenflies, topologische Invarianz der Dimension, des Randes, der Orientierung, des Gebietes.
13. Klassifikation der Flächen: Mannigfaltigkeiten, projektive Räume, simpliziale Flächen, Polygonmodell, (simpliziale) Klassifikation der kompakten Flächen.
14. Algebraische Topologie: ca. 9 Vorlesungen
15. Fundamentalgruppe: Wege und Homotopie, der Funktor \(\pi_1\), Darstellung für offene Mengen \(U \subset \R^n\) und für Simplizialkomplexe, Beispiele, Flächengruppen.
16. Überlagerungen: Überlagerungen, freie diskontinuierliche Gruppenoperationen, Hochhebungssatz, Galois-Korrespondenz, Satz von Nielsen-Schreier.

The axiomatic method of postulating what we want has many advantages;
they are the same as the advantages of theft over honest toil.
Bertrand Russel (1872–1970), Introduction to Mathematical Philosophy

Vorlesungstermine

Die folgende Terminplanung ist noch vorläufig und wird schrittweise aktualisiert.

Diesmal stehen uns nur 23 Vorlesungstermine zur Verfügung (statt zuvor 29, ehemals 32).
Die Zeit ist knapp, wir müssen sechs Vorlesungen sparen (immerhin ein Fünftel). Das ist schwierig in Anbetracht der ambitionierten Themensetzung, aber auch eine Chance, den Rhythmus der drei Themen weiter auszugleichen. Ich will daher versuchen, die analytische Topologie stark zu straffen. (Geklappt hat das noch nie.) Auch aus Wenig werden wir Schönes und Lehrreiches gestalten. Wir navigieren auf Sicht und lernen Schritt für Schritt.

Ich denke zurück an all meine Jahre. / Nicht an meine Leistung denke ich. Sie ist gering.
Nicht an das Gute, das ich tat. / Es wiegt leicht gegen die Last des Versäumten.
Jörg Zink (1922–2016), Ich werde gerne alt

Zu guter Letzt

Auch wenn die Topologie eine sehr junge Wissenschaft ist, so spielen topologische Beobachtungen und Anwendungen schon seit der Antike eine gewisse Rolle. Das Labyrinth von Minos zum Beispiel erinnert jeden topologisch geschulten Leser an die Fundamentalgruppe und die universelle Überlagerung:

Ariadne gab Theseus ein Knäuel Faden, dessen Ende er am Eingange des Labyrinthes festknüpfte und den er während des Hinschreitens durch die verwirrenden Irrgänge in der Hand ablaufen lassen sollte, bis er an die Stelle gelangt wäre, wo der Minotauros seine Wache hielt. Theseus ward mit seinen Gefährten in das Labyrinth geschickt, erlegte den Minotauros und wand sich mit Hilfe des abgespulten Zwirns aus den Höhlengängen des Labyrinthes glücklich heraus.
Aus dem Theseus-Mythos

Die folgende Abbildung zeigt eine polygonale Kurve \(C \subset \R^2\). Sie ist einfach geschlossen, somit homöomorph zur Kreislinie \(\S^1\); wir nennen dies eine Jordan-Kurve. Sie prüfen dies leicht nach, indem Sie die gesamte Kurve geduldig mit einem Stift abfahren. Können Sie \(a\) mit \(b\) durch einen Weg im Komplement \(\R^2 \setminus C\) verbinden? und \(a\) mit \(c\)? und \(b\) mit \(c\)? Wie können Sie das effizient feststellen bzw. Ihre Antwort leicht nachprüfbar zertifizieren? Können Sie \(a,b,c\) verbinden, nachdem Sie irgendein kleines Wandstück entfernen?

Der Satz von Jordan besagt: Jede Jordan-Kurve \(C \subset \R^2\) zerlegt die Ebene in genau zwei Gebiete: \(\R^2 \setminus C = A \sqcup B\) mit \(A,B\) offen und zusammenhängend, \(A\) unbeschränkt und \(B\) beschränkt. Zudem ist jeder Punkt von \(C\) zugleich Randpunkt von \(A\) und Randpunkt von \(B\). Dies wird augenfällig, wenn wir beide Gebiete einfärben: Fahren Sie mit dem Mauszeiger über die Abbildung! Genauer: Nach Wahl einer beliebigen Parametrisierung \(f \colon \S^1 \isoto C\) erhalten wir die Bijektion \(\pi_0(\R^2 \setminus C) = \{A,B\} \isoto \{0,1\}\) durch die Umlaufzahl \(x \mapsto \deg(f - x) \bmod 2\). Jeder innere Punkt \(b \in B\) (gelb) wird von \(f\) genau einmal umlaufen, jeder äußere Punkt \(a \in A\) wird nicht umlaufen. Dieser Algorithmus löst die obigen Fragen! Es ist ein erstes schönes Beispiel zur Poincaré-Dualität.

Wem die Topologie allzu abstrakt erscheint, den möge John von Neumann trösten:

If people do not believe that mathematics is simple,
it is only because they do not realize how complicated life is.
John von Neumann (1903–1957)

Zur Illustration zitiere ich eine seltene topologische Zwangshandlung:

Heinz (29 Jahre alt): Ich ziehe so eine Art unsichtbare Linie hinter mir her, und ich habe den Zwang, diese Linie gerade hinter mir herlaufen zu lassen. Die darf nicht verwurstelt sein. Zum Beispiel kann ich kein Karussell fahren, weil ich mich nicht zurückdrehen kann. (...) Und dann habe ich einmal probiert, um eine Litfaßsäule herumzugehen – und schon hatte ich den Salat. Die Linie war verwickelt. Also musste ich zurückgehen. (...) Wenn ich zum Beispiel zur Arbeit fahre, morgens, dann versuche ich abends exakt denselben Weg zurückzufahren, um die Linie wieder aufzusammeln.
Aus Jürgen Domian, Extreme Leben (1996)

Ob diese Zwangsvorstellung durch den Besuch einer Topologie-Vorlesung oder das Selbststudium der Fundamentalgruppe ausgelöst wurde, ist nicht bekannt.