[banner] Michael Eisermann

Videos zur Topologie im SoSe 2020

Guardians of Topology Das Poster zur Vorlesung jetzt im Fanshop!

Wir ersetzen in diesem Sondersemester echte Vorlesungen durch das Zweitbeste: liebevoll hausgemachte Videos. Ich lerne jede Woche dazu und optimiere meine Kleinkunst... Bleiben Sie neugierig! Parallel zur Vorlesung stelle ich das Skript und die Folien zur Verfügung.

Ich wünsche Ihnen viel Spaß beim Topo-Binge-Watching!

Die Digitalisierung kam leider nicht sanft, sondern brutal. In den aufreibenden Monaten dieser Vorlesungszeit, von April bis Juli 2020, habe ich über 80 Lehrvideos mit insgesamt etwa 1400 Minuten Laufzeit erstellt. Die Serienproduktion startete leider mit allzu kurzem Vorlauf, improvisierter Technik und enormem Zeitaufwand, aber auch mit großer Begeisterung, wachsender Überzeugung und ermutigendem Zuspruch. Hinter den Kulissen war das ein atemloser Höllenritt. Auf das ansehnliche Ergebnis bin ich im Rückblick dann doch recht stolz.

Inside my heart is breaking,
My make-up may be flaking,
But my smile, still, stays on.
[...] I'll top the bill, I'll overkill,
I have to find the will to carry on,
on with the, on with the show.

Queen, The show must go on!

Die Gretchen-Frage: Wie gelingt digitale Lehre?

Während der Corona-Krise haben sich viele meiner Kollegen am Fachbereich Mathematik enorm engagiert. Unsere gesamte Lehre musste seit Anfang April 2020 im Eiltempo in digitale Formate übertragen werden, jede/r musste für sich passende Vorgehensweisen finden. Zum Glück gab und gibt es seitens der Universität tragfähige Plattformen (Ilias und C@mpus), wenn auch mit all ihren Macken und Schwächen, doch immerhin garantiert diese Infrastruktur eine stabile Grundversorgung. Diesen Rahmen gilt es mit guten Inhalten zu füllen!

Digitales Gesamtkonzept. Die Lehrvideos zur Topologie sind Teil eines umfassenden Gesamtkonzepts aus Skript/Folien/Video sowie wöchentlichem Online-Quiz und Übungen/Hausaufgaben. Das alles lässt sich auf unserer Lernplattform Ilias gut präsentieren und bündeln. Die Erstellung ist aufwändig und auf Ilias schrecklich umständlich, aber es ist immerhin möglich und dann für die Studierenden gut nutzbar. Ich hoffe, Ilias wird sich durch den aktuellen Digitalisierungsschub rasch entwickeln, nutzerfreundlicher werden und sein Potential ausschöpfen. (Spoiler: Das Ilias-Projekt ist träge, Mitte 2021 warten wir immer noch.)

Zielsetzung der Videos. Für meine Videos bin ich nicht von vorhandenen Werkzeugen ausgegangen (Was geht am leichtesten?), sondern von motivierenden Vorbildern (Wie soll das Ergebnis aussehen?). Je nach Zielsetzung und Zeitbudget haben beide Herangehensweisen ihre Vorteile. Wir werden sehen, wie sich verschiedene Umsetzungen in der jeweiligen Situation bewähren und insbesondere wie die Kosten-Nutzen-Bilanz am Ende ausfällt. (Spoiler: Der Aufwand einer hochwertigen Produktion ist enorm.)

Utopische Vorbilder. Es gibt auf YouTube einige exzellente Matheformate, die ich mit großem Vergnügen schaue und bewundere. 3Blue1Brown ist eine Legende, perfekter Inhalt, Didaktik und Graphik, circa alle drei Wochen ein hochqualitatives Video für die Ewigkeit. Dieser Aufwand ist jedoch im laufenden Betrieb unerreichbar. Mathologer ist spezieller, doch auf seine Art ebenso perfekt in Inhalt, Didaktik und Schauspiel; die Technik ist schlicht gehalten, zumindest an der Oberfläche. Die Freude beim Zuschauen und Mitdenken ist garantiert! Die dramatische Verdichtung liegt leider außerhalb meiner Reichweite.

Realistische Vorbilder. Wie können wir fachliche Inhalte mit intellektueller Freude verbinden? Und zwar idealerweise für beide Seiten, Studierende und Dozierende! Ein ganzes Semester von etwa 30 Vorlesungen à 90 Minuten stellt enorme Anforderungen. Zwei leuchtende Vorbilder sind für mich Game Theory Online (UStanford/UBS) als Beispiel mit sprechendem Kopf und die Vorlesungsvideos von Prof. Dr. Edmund Weitz (HAW Hamburg) allein mit Bildschirm. Beide Konzepte überzeugen mich durch ihre sorgsame Präsentation und ruhige Erklärung. So gut will ich auch werden. (Spoiler: Anfang April 2020 war ich noch jung und naiv.)

Technische Umsetzung: Topolywood im Home-Office

Ich notiere hier meine Überlegungen zur technischen Umsetzung nach viel Trial & Error sowie Hinweisen des TIK und des CCC. Das gesamte Semester war ein verrücktes Experiment. Gute Lehrvideos brauchen viel Zeit zum Planen, Ausprobieren und Vorbereiten, denn es gibt neben den üblichen inhaltlichen und didaktischen Herausforderungen nun völlig neue Fragen und Details zur digitalen Kommunikation und zusätzlich zahllose technische Anforderungen und Hindernisse. In diesem Sommersemesters hingegen muss alles wahnsinnig schnell gehen, das Fließband läuft im Wochentakt unerbittlich weiter, daher waren trotz enormer Investition an Zeit und Mühe leider dennoch Kompromisse nötig.

Videoformat. Die Auflösung 1080p scheint mir ein guter Mittelweg zwischen Bildqualität und Aufwand an Rechnerleistung und Speicherplatz. Das TIK empfiehlt eine Bildrate von 30fps, das spart Rechenzeit beim Umcodieren auf Ilias. Die Anforderungen an die Hardware sind bei 1080p30 für meinen älteren Laptop an der Grenze, wie ich schmerzhaft lernen musste, aber mit einem neueren PC oder Gaming-Laptop sind sie erfüllbar.

Gutes Mikrophon. Das Wichtigste ist meinem Empfinden nach ein gutes Mikrophon; schlechte Tonqualität nervt und lässt sich nicht lange ertragen. Das eingebaute Mikrophon meines Laptops ist definitiv ungeeignet. Vermutlich wäre irgendeine Form von Headset bereits ausreichend. Ansteckmikrophone kosten nicht viel und bringen deutliche Verbesserung, Anfang des Semesters war die Lieferzeit der limitierende Faktor. Ich konnte noch rechtzeitig ein gutes Mikrophon kaufen und lerne seither täglich dazu: Optimierung der Raumakustik, Aussteuerung des Pegels, Wahrung der Tonqualität beim Bearbeiten / Rendern / Umwandeln, usw. Akustik ist ein eigenes Studium.

Mit sprechendem Kopf oder ohne? Für die Vorlesung sollten die Inhalte im Mittelpunkt stehen. Der sprechende Kopf neben den Folien ist amüsant, aber letztlich verzichtbar; man spart dann Aufnahme und Rechenzeit für Eye-Candy. Die erhofften Vorteile sind: Der Vortrag ist durch Gestik und Mimim lebhafter, persönlicher und dadurch hoffentlich motivierender. Die Vorlieben der Sprecher und Zuschauer sind recht verschieden. Ich selbst gestikuliere manchmal zu viel, manchmal zu zurückhaltend. Idealerweise verbinden sich Geste und Inhalt; das gelingt manchmal intuitiv, andermal muss ich etwas probieren. Manche räumlich-geometrischen Themen stelle ich seit Jahren gerne auch pantominisch dar, an diesen Stellen lohnt sich das Kamerabild besonders. Das ist, wie gesagt, eine Frage des persönlichen Vortragsstils. Vor Publikum ist diese Art der Kommunikation recht natürlich, vor der unpersönlichen Kamera versuche ich die Vorteile soweit möglich zu bewahren.

Geeignete Kamera. Jede aktuelle Webcam sollte genügen. Wer allerdings noch keine brauchbare Webcam hatte, so wie ich, der konnte ab Mitte/Ende März auch keine mehr kaufen. Ich musste erst einmal alle vorhandenen kamerafähigen Geräte im Haushalt durchprobieren und habe schließlich eine geeignete DSLM-Kamera angeschafft. Die Aufnahmetechnik für das Video ist dann recht simpel: Kamera an den PC anschließen (über HDMI und Capture Card) und mit Open Broadcaster Software (OBS) aufnehmen. Auch wenn die Hardware raucht: immer schön lächeln! Optional ist ein Greenscreen zur Hintergrundentfernung, ich nutze hierzu Chroma Key direkt in OBS. Alternativ könnte man alle Quellen unabhängig aufnehmen und erst in der Nachbearbeitung zusammenführen. Das hat einige Vorteile, war mir aber zu aufwändig.

Freie Software zur Videobearbeitung unter Linux. Ich nutze Open Broadcaster Software (OBS) zur Aufnahme, Kdenlive zum Schnitt, Handbrake zur Komprimierung. Zur Videobearbeitung gibt es zahlreiche Alternativen, ich taste mich langsam vor. Zum effizienten Arbeiten (Aufnahme, Schnitt, Rendering) erfordern all diese Programme passende Treiber zur GPU-Unterstützung; unter Windows ist das selbstverständlich, unter Linux leider immer noch mühsam zu installieren. Mein Laptop (Lenovo T450s) ist selbst damit hart am Limit. Zur Mitte des Semesters habe ich einen Desktop-PC gekauft (genauer: einen "Gaming PC" wegen der Graphikkarte) und die Produktion umgestellt, seither läuft es spürbar flüssiger.

Steile Lernkurve und hoher Aufwand. Die ersten Videos haben mich extrem viel Zeit und auch technischen Aufwand gekostet, da ich mich erst einarbeiten und vieles ausprobieren musste. Vermutlich ist das die allgemeine Grunderfahrung: Je müheloser das Video am Ende aussehen soll, desto mühevoller ist die Arbeit hinter den Kulissen: vor, während und nach der Aufnahme. Diese Mühe amortisiert sich etwas im weiteren Arbeitsfluss, aber es bleibt aufwändig. Das Ergebnis ist noch nicht perfekt, aber schon recht ansehnlich.

So ein Video ist doch schnell gemacht, oder etwa nicht?

Vorneweg: Ein respektables YouTube-Video von 10 Minuten braucht zur Vorbereitung, Aufnahme und Bearbeitung typischerweise mehr als einen Tag, manche sogar noch weit mehr. Eine vierstündige Vorlesung mit 180 Minuten erfordert im Falle der Topologie als Video etwa 120 Minuten jede Woche. Bei zehn Minuten pro Tag wären das 12 Tage. Meine Woche hat aber nur 7 Tage, daher sind Kompromisse zwangsläufig nötig. Dennoch versuche ich, die bestmögliche Qualität zu erreichen. Meine Lernkurve war anfangs sehr steil, die Ergebnisse sind inzwischen recht ansehnlich, doch es bleibt harte Fließbandarbeit, und ich leide täglich unter dem Zeitmangel. Auch für sinnvolle Neuerungen, Experimente und Weiterentwicklung bleibt im durchgetakteten Dauerbetrieb kein Spielraum, das ist schade.

Die Vorlesungen jeder Woche präsentiere ich typischerweise in etwa 6 Videos zu 20 Minuten, im Verlauf des Semesters bin ich zu kürzeren Einteilungen übergegangen, das ist nutzerfreundlicher. Natürlich ginge die Produktion auch schnell und lieblos, aber dann wäre das Ergebnis auch recht nutzlos. Die Videos sollen helfen, die Studierenden motivieren und das Lernen unterstützen. Lernen erfordert Geduld und Hingabe auf Seiten der Studierenden, also ebenso auch die Lehre auf meiner Seite. Für ein zwanzigminütes Video brauche ich etwa 2-4 Stunden zur Erstellung der Folien, dann 1-2 Stunden zur Aufnahme und schließlich nochmal 1-2 Stunden zum Schneiden, noch mehr mit Kontrolle und Korrekturen. Das verschlingt jede Woche etwa 3 bis 5 Tage. Ich halte das nicht für effizient, aber vorerst muss es sein, wenn ich meine Ansprüche erfüllen will.

Die etwa 120 Minuten Video entsprechen dem Inhalt von 180 Minuten an der Tafel. In der Präsenzlehre haben wir mehr Pausen und vor allem mehr Interaktion, die Studierenden können zwar nicht Zurückspulen, aber sie können nachfragen und ich kann auf sie eingehen. Wenn ich an der Tafel stehe, mache ich natürlich auch Fehler und finde nicht immer die ideale Formulierung, doch da können die Studierenden direkt nachhaken, hier nicht. Daher will/muss ich für ein Video höhere Maßstäbe anlegen. Abstrakt ist das klar, doch nur wer schon selbst Videos gedreht hat, weiß konkret den Anspruch und den Aufwand einzuschätzen.

Meist nehme ich am Wochende auf, am besten am Sonntag, dann ist es ruhiger: weniger Verkehr, kein Baustellenlärm, selten Rasenmäher, hämmernde Nachbarn, etc. Ich achte nun auf viele Details, die ich zuvor nicht einmal wahrnahm. Rendern, Konvertieren, Hochladen, Einpflegen der Videos braucht einige Stunden und läuft am besten über Nacht, benötigt aber auch immer wieder Betreuung. Ich hatte anfangs gehofft, dass sich meine Abläufe schnell amortisieren. Das stimmt zum Teil, leider steigen gleichzeitig meine Ansprüche. Eine Zeitersparnis sehe ich noch nicht. Dieses Semester konnte ich den Aufwand gerade so durchhalten, dafür aber auch 60 Stunden rund um die Woche arbeiten. Im Wintersemester halte ich zum ersten Mal die Lineare Algebra für unsere Studienanfänger, da ist der Aufwand nochmal deutlich höher. In digitaler Form mache ich mir dazu ernsthaft Sorgen. (Edit April 2021: Im WiSe haben 60 Stunden pro Woche nicht mehr ausgereicht.)

Dieser Wahnsinn braucht Methode! Lohnt sich der Aufwand?

Um es vorweg zu nehmen, ich weiß es nicht. Ich kenne nun recht genau den Aufwand und hoffe auf den langfristigen Nutzen. Vielleicht habe ich alles richtig gemacht, und doch war es falsch.

Eile! Die Herstellung der Videos während des Semesters war enorm aufwändig und die wöchentliche Schlagzahl brutal. Wie die meisten Kolleg/innen hatte ich zuvor keinerlei Videoerfahrung. Anfang April gab es nur sehr kurzen Vorlauf, jede/r musste sich schnell ein tragfähiges System zurechtlegen. Ich wollte es besonders gut machen und musste dazu ein Home-Office-Studio einrichten und die Technik im laufenden Betrieb nebenbei erlernen, viel Trial und noch mehr Error. Dennoch hoffe ich, Sie können die Fortschritte sehen und hören: Tonqualität, Bildqualität, Präsentationstechnik, usw. Im Hintergrund musste ich den Workflow zur Bearbeitung ausprobieren und optimieren. Das war, wie man so schön sagt, lehrreich und spannend... wie eine Notoperation am offenen Herzen. ;-)

Aufwand! Über 600 Folien mit abgewogenem Text und informativen Graphiken erstellen, prüfen, proben, aufnehmen, schneiden, rendern, prüfen, hochladen, einpflegen, ... Das hat mindestens 500 Arbeitsstunden verschlungen, vermutlich noch einiges mehr. Leider hatte ich dazu kein Produktionsteam, sondern nur die gute alte Selbstausbeutung, der bewährte Grundpfeiler universitärer Lehre. In den ersten, ruhigeren Corona-Wochen ging das gerade noch, doch dann erwachten wieder die Konferenzen, Komissionen, Prüfungen, administrativen Aufgaben, sinnvolle und sinnlose, dies und das und Ananas. Der gigantische Zeitaufwand für die digitale Lehre blieb daneben weiter bestehen. Ich habe in den letzten Wochen wenig geschlafen und wenig Sonne gesehen. In den Videos versuche ich den Stress möglichst auszublenden, das gelingt meistens. Kühl bilanziert kann ich diesen Aufwand keiner Dozentin und keinem Dozenten empfehlen, die noch ein Fünkchen gesunden Egoismus verspüren. Dennoch haben sich viele meiner Kolleg/innen im Fachbereich ähnlich engagiert, mit verschiedenen Aufgaben und Schwerpunkten, doch ebenso aufopfernd.

Nutzen? Einerseits ist der Aufwand übertrieben und nicht nachhaltig leistbar; angemessen gewürdigt im Sinne einer gerecht bemessenen Lehrleistung wird er leider auch nicht. Ich habe 200% meines Deputats gegeben, als Lehrleistung angerechnet bekomme ich nicht einmal 50%. Das ist bitter. Andererseits haben unsere Studierenden das Engagement des Topologie-Teams sehr wohl gesehen, gespürt und geschätzt und uns immer wieder ermutigt. Auch sie haben eine harte Zeit mit großem Engagement und Zeitaufwand gemeistert. In manchen Aspekten war der Austausch sogar intensiver und direkter als sonst. Not schweißt zusammen, so sagt man, und unter Druck entstehen Diamanten. Gefreut und überzeugt haben uns die hochmotivierte Zusammenarbeit, der spürbare Lernspaß und die sichtbaren Fortschritte: Der Erfolg des Schülers ist das Lob des Meisters.

Vielleicht war alles irrational, wahnsinnig, übertrieben, und doch haben wir es richtig gemacht. Immerhin haben wir es versucht.

Oft schon hatte er so empfunden, oft schon so gedacht, so gefürchtet.
In allen guten, fruchtbaren, glühenden Zeiten seines Lebens,
auch in der Jugend schon, hatte er so gelebt, hatte seine Kerze
an beiden Enden brennen gehabt, mit einem bald jubelnden,
bald schluchzendem Gefühl von rasender Verschwendung [...]
Es war gut so. Es würde gehen, wie es oft gegangen war.

Hermann Hesse (1877–1962), Klingsors letzter Sommer

Zukunft? Das Sommersemester 2020 war ein riesiges Experiment. Es war zehrend, aber erfolgreich. Vielleicht lassen sich die vorhandenen Lehrvideos auch in zukünftigen Jahrgängen nutzen, mutig wäre der Schritt zum Inverted Classroom. Dauerhaft ist der gigantische Mehraufwand leider nicht zu leisten, schon jetzt überlastet er alle Ressourcen. Wir werden es leider weiterhin leisten müssen: Das Wintersemester 20/21 steht vor der Tür, und alles deutet darauf hin, dass wir weiter grundsätzlich digital lehren müssen. Das macht mir und all meinen Kollegen ernsthafte Sorgen: Wie können wir die Erstsemester erfolgreich ins Studium einführen? Eine Atempause ist leider nicht in Sicht. (Edit April 2021: Die digitale Lehre im Wintersemester war für mich noch um einiges härter, doch ich denke, wir haben es als Team in der Linearen Algebra gut und richtig gemacht.)

Die Hoffnung auf Anerkennung... stirbt zuletzt.

Mein Schwager denkt, ich habe Dauerurlaub. Vermutet hat er das schon immer, jetzt ist er sich sicher: Die Unis haben ja geschlossen! Mancher kann eben nur glauben, was er sieht, und was er nicht sieht, existiert für ihn nicht. Manche Menschen denken ja auch, die Nachrichtensprecherin arbeitet nur 15 Minuten am Tag und der Fußballtrainer nur 90 Minuten die Woche. Es ist eine unwürdige Diskussion, dennoch fühle ich mich genötigt klarzustellen: In jeder dieser Wochen hatte ich über 60 Arbeitsstunden. Und selbst das reicht bei weitem noch nicht, alle längerfristigen Projekte müssen zurückstehen.

Mit "rund um die Uhr und rund um die Woche" meine ich nicht nine-to-five, sondern tatsächlich auch Wochenenden und Abende und — da es immer wieder sein muss — auch einige Nächte. Ich denke, vielen engagierten Kollegen geht es ähnlich. Das geht an die Substanz und ist nur kurzfristig leistbar. Noch schaffe ich das, denn ich halte meine Arbeit für sinnvoll und empfinde daher den Stress nicht negativ, die Ergebnisse sind recht ermutigend und viele Rückmeldungen sehr positiv. Zudem haben wir auch dieses Semester wieder ein phantastisches Team beisammen. Die gegenseitige Unterstützung und Ermutigung hält mich aufrecht, ohne Freude und Begeisterung wäre es schlicht unmöglich.

Meine Woche besteht zurzeit aus sechs Tagen Homeoffice plus einem Tag an der Uni. Dennoch wird auch diese Veranstaltung nur mit 4 Stunden angerechnet, mein Deputat sind 9 Stunden (Lehre vor Studierenden in Semesterwochenstunden). Ich mache also dieses Semester ein beachtliches Defizit von 5 Stunden und muss dies in anderen Semestern ausgleichen. Nochmal anders gesagt: Ich gebe dieses Semester 200% für die Lehre, auf meinem amtlichen Lehrverpflichtungsnachweis erscheinen nicht einmal 50%. Ungerecht war es schon immer, nun wird es grotesk. Alle reden von exzellenter Lehre, aber diese wird nicht explizit belohnt, sondern implizit bestraft. Dienst nach Vorschrift ist effizienter, das tun einige, nur so bleibt Zeit für Forschung und Karriere.

Der gigantische Aufwand dieses Semesters ist ein Notprogramm. Familienleben reduziert sich derzeit weitgehend auf gemeinsame Mahlzeiten. Das ist vorläufig und vorübergehend leistbar, da wir uns alle gegenseitig verständnisvoll, bewusst und gezielt unterstützen, und ansonsten jeder in seiner jeweiligen Arbeit voll aufgeht. Ich will und muss in den nächsten Wochen dringend wieder in ein nachhaltiges Gleichgewicht zurückfinden. Leider sehe ich seitens der digitalen Lehre vorerst keine Entspannung, im Gegenteil: Im Wintersemester erwarten wir die Studienanfänger, und diese Problematik wirft ihre Schatten voraus.

Ich kann diese extreme Arbeitsweise niemandem empfehlen und schon gar nicht vorschreiben. Jede Dozentin muss ihren eigenen Weg finden. Ich tue es aus Freude und Überzeugung und Hoffnung, und ich weiß von vielen KollegInnen, dass auch sie für ihre digitale Lehre einen riesigen Aufwand treiben in diversen Angeboten und vielfältigen Formaten. Ich denke, wer ernsthaft, offen und ehrlich bei uns studiert, wird das sehen und schätzen und davon profitieren.

Welcome to Topolywood!

Ab Kapitel A wird das Bild besser, ab Kapitel B auch die Tonqualität.

Rahmenprogramm
Willkommen zur Topologie! Begrüßung zum SoSe 2020 11:24 91Mb
GuT - Geometrie und Topologie: Wie geht es weiter? 2:26 16Mb
Angewandte Topologie 1 - Flächen 8:01 150Mb
Angewandte Topologie 2 - Flächen 13:30 200Mb
Kapitel A: Was ist und was soll die Topologie?
A0 Was ist und was soll die Topologie? 19:45 156Mb
A1 Homöomorphismen 18:30 141Mb
A2 Polytope und Isometrien 16:31 97Mb
A3a Eulers Polyederformel für polytopale Komplexe 16:22 88Mb
A3b Integrale von Treppenfunktionen 14:11 79Mb
A3c Euler-Maß und Euler-Charakteristik 15:34 82Mb
A3d Topologische Invarianz der Euler-Charakteristik 14:41 82Mb
A4 Klassifikation kompakter Flächen 29:12 163Mb
A5 Der Satz von Gauss-Bonnet 19:57 109Mb
Kapitel B: Grundlagen
B Aufbau des Zahlensystems 23:05 122Mb
Kapitel C: Metrische Räume
C1 Skalarprodukte und Normen 20:51 124Mb
C2 Metrische Räme und ihre Topologie 14:52 81Mb
C3 Konvergenz und Stetigkeit 23:40 126Mb
C4 Vollständige metrische Räume 17:31 93Mb
Kapitel D: Topologische Räume
D1 Topologische Räume 17:12 90Mb
D2 Stetige Abbildungen 13:59 74Mb
D3 Umgebungen und Umgebungsbasen 25:46 134Mb
D4 Anwendung auf Funktionenräume 25:04 139Mb
D5a Inneres, Abschluss, Rand 20:56 110Mb
D5b Polynome und Matrizen 14:40 81Mb
D6a Basen und Erzeugendensysteme 14:00 73Mb
D6b Zweitabzählbarkeit und Separabilität 16:07 83Mb
Kapitel E: Topologische Konstruktionen
E1a Teilräume und Einbettungen 16:43 84Mb
E1b Das Verklebelemma 10:44 53Mb
E2a Quotienten und Identifizierungen 19:49 96Mb
E2b Die kanonische Faktorisierung 19:30 93Mb
E2c Teilräume zusammenschlagen 10:28 64Mb
E3 Summen topologischer Räume 15:41 80Mb
E4 Produkte topologischer Räume 25:38 129Mb
E5a Trennungsaxiome 15:53 80Mb
E5b Der Fortsetzungssatz von Tietze 20:11 105Mb
E5c Der Metrisierungssatz von Urysohn 10:18 54Mb
Kapitel F: Kompaktheit
F1a Kompakte topologische Räume 24:58 125Mb
F1b Der Satz von Heine-Borel 21:14 102Mb
F1c Der Satz von Tychonoff 13:31 67Mb
F2 Erste geometrische Anwendungen 29:14 145Mb
F3 Kompakte metrische Räume 11:51 59Mb
F4 Lokale Kompaktheit 14:20 63Mb
F5 Kompaktifizierung 26:02 124Mb
F6 Eigentliche Abbildungen 7:54 37Mb
Kapitel G: Zusammenhang und Homotopie
G1 Zusammenhang 24:59 120Mb
G2a Wegzusammenhang 24:25 112Mb
G2b Anwendungsbeispiele 15:49 73Mb
G3 Lokaler Zusammenhang 6:44 31Mb
G4a Homotopie stetiger Abbildungen 16:55 91Mb
G4b Homotopiekategorie und Homotopie-Äquivalenz 13:09 74Mb
G5 Retrakte und Deformationsretrakte 17:40 84Mb
Kapitel H: Die Sprache der Kategorien
H1 Kategorien 15:56 74Mb
H2 Kommutative Diagramme 11:05 52Mb
H3 Universelle Objekte 16:28 76Mb
H4 Funktoren 8:32 42Mb
H5 Natürliche Transformationen 11:37 56Mb
Kapitel I: Simpliziale Komplexe
I1 Affine Simplizialkomplexe 21:06 97Mb
I2a Kombinatorische Simplizialkomplexe 20:58 95Mb
I2b Geometrische Realisierungen 19:30 91Mb
I3 Triangulierungen 29:21 131Mb
I4 Simpliziale Approximation 22:59 104Mb
Kapitel J: Abbildungsgrad auf Sphären und Topologie des \(\R^n\)
J1a Die Umlaufzahl von ebenen Wegen 15:28 80Mb
J1b Klassifikation bis auf Homotopie 15:46 74Mb
J1c Der Fundamentalsatz der Algebra 9:13 44Mb
J2a Der Satz von Jordan 13:15 67Mb
J2b Der Satz von Schoenflies 14:43 68Mb
J3 Abbildungsgrad auf Sphären 16:28 78Mb
J4 Brouwers Fixpunktsatz 10:58 50Mb
J5 Der Satz vom Igel 7:10 36Mb
J6 Der Satz von Borsuk-Ulam 21:36 97Mb
J7a Topologische Invarianz der Dimension 6:41 28Mb
J7b Topologische Invarianz des Randes 8:30 38Mb
J7c Topologische Invarianz des Gebietes 9:13 40Mb
J7d Topologische Invarianz der Orientierung 16:55 76Mb
Kapitel K: Klassifikation kompakter Flächen
K1a Topologische Mannigfaltigkeiten 8:27 35Mb
K1b Atlanten und Kartenwechsel 13:25 57Mb
K1c Triangulierung von Mannigfaltigkeiten 7:49 36Mb
K2a Was sind projektive Räume? 14:16 85Mb
K2b Anwendungsbeispiel Qubit und Bloch-Sphäre 9:24 57Mb
K2c Lobgesang der projektiven Räume 15:56 92Mb
K2d Projektive Räume sind Mannigfaltigkeiten. 10:54 63Mb
K2e Rodrigues-Formel und Hopf-Faserung 11:41 72Mb
K3a Simpliziale Flächen und Heawood-Ungleichung 19:39 119Mb
K3b Darstellung durch Flächenwörter 11:21 68Mb
K3c Rechenregeln für Flächenwörter 11:30 67Mb
K3d Flächenklassifikation und Anwendungsbeispiele 9:23 57Mb