C'est par la logique que l'on prouve
et par l'intuition que l'on découvre.
— Mit der Logik beweisen wir,
mit der Intuition entdecken wir.
Henri Poincaré (1854–1912)

Algebraische Topologie 2

Vorlesung im Sommersemester 2016 (Veranstaltungsnummer 01570)
Dies ist die Fortsetzung der Veranstaltung Algebraische Topologie 1.

Vorlesung	Mo 11:30 - 13:00	Raum V57-7.530
Vorlesung	Mi 9:45 - 11:15	Raum V57-7.530
Übung	Fr 9:45 - 11:15	Raum V57-7.530

Rückmeldungen? Ich freue mich über Ihre Kommentare und Anregungen! Bitte lassen Sie mich wissen, wie Ihnen die Veranstaltung gefällt, wie Sie mit dem Stoff zurecht kommen, und was sich verbessern lässt.

Aktuelles

Die Messe ist gelesen. Gehet hin in Frieden. Fortsetzung: Algebraische Topologie 3.

Diese Seite wird nicht mehr regelmäßig aktualisiert; sie wird aber noch längere Zeit zugänglich bleiben, um als Archiv zu dienen. Zur Übersicht: Lehrveranstaltungen

Zielsetzung der Vorlesung

Die Vorlesung vermittelt die Grundlagen der algebraischen Topologie: Homotopie, Homologie und Kohomologie, Produkte und Dualität, Berechnung und Anwendung topologischer Invarianten. Ziel sind dabei immer zwei komplementäre Kompetenzen: das Verständnis sowohl konkreter Anwendungen als auch der allgemeinen Theorie. Das eine ist ohne das andere kaum denkbar.

Zitat aus dem Modulhandbuch: Die Studenten erlernen die Grundlagen der algebraischen Topologie. Sie sind in der Lage, die behandelten Methoden selbstständig, sicher, kritisch, korrekt und kreativ anzuwenden.

Literatur

Es gibt viele Lehrbücher zur algebraischen Topologie, darunter auch einführende und gut lesbare.

A. Hatcher: Algebraic topology, CUP 2009, online.
W.S. Massey: A basic course in algebraic topology, Springer 1980.
J.J. Rotman: An introduction to algebraic topology, Springer 1998.
G.E. Bredon: Topology and geometry, Springer 1993.
R. Stöcker, H. Zieschang: Algebraische Topologie, Teubner 1994.
W. Lück: Algebraische Topologie, Vieweg 2005.
F. Waldhausen: Skripte zur algebraischen Topologie, online.
T. tom Dieck: Algebraic topology, EMS 2008.
E.H. Spanier: Algebraic topology, Springer 1994.
J.P. May: A concise course in algebraic topology, UCP 1999, online.

Jedes dieser Lehrbücher hat seine eigenen Vorzüge und betont etwas andere Motivationen, Sichtweisen und Schwerpunkte: Das Spektrum reicht von geometrisch-topologisch bis formal-algebraisch. Sie sollten daher in möglichst vielen Büchern schmökern, um sich einen Überblick zu verschaffen und Ihr Lieblingsbuch zu finden.

Eine detaillierte Darstellung aus historischer Perspektive bieten:

J. Dieudonné: A History of Algebraic and Differential Topology, Birkhäuser 1989.
I.M. James (ed): History of Topology, Elsevier 1999.

Ich möchte im Wesentlichen dem wundervollen Buch von Hatcher folgen. Es ist schön geschrieben, umfasst viel Stoff und ist eine gute langfristige Investition. (Ich werde mir nicht verkneifen können, meinen Senf dazuzugeben; lokal hängt der Verlauf auch von Ihren Reaktionen und Fragen ab.) Das Buch ist elektronisch frei erhältlich, und man kann es auch gedruckt günstig kaufen — über 500 Seiten für unter 30€.

Themen

Themen der Vorlesungen Algebraische Topologie 1 und 2:

Fundamentalgruppe und Überlagerungen
Von Simplizialkomplexen zu Zellkomplexen
Von der Fundamentalgruppe zu höheren Homotopiegruppen
Von Überlagerungen zu Faserungen und lange exakte Homotopiesequenz
Homologie: simplizial, singulär, zellulär
Anwendungen auf geometrische Fragen
Beziehung zwischen Homotopie und Homologie
Kohomologie und das Cup-Produkt
Mannigfaltigkeiten und Poincaré-Dualität

The traditional mathematics professor
of the popular legend is absentminded. (...)
He writes a, he says b, he means c; but it should be d.
George Pólya (1887–1985), How to solve it

Prüfungen

Da die Teilnehmerzahl überschaubar ist, schlage ich Ihnen mündliche Prüfungen vor. Im Anschluss an die Vorlesung können Sie Prüfungstermine jederzeit mit mir ausmachen.