Definition 2.10.19. Eine Funktion $f:\left[a,b\right]\to ℝ$ heisst $$\begin{array}{rcll}\text{monoton wachsend}\left(f\uparrow \right)& \iff & {\forall }_{\stackrel{x_1,x_2\in ]}{x_1<x_2}}f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right),& \\ \text{streng monoton wachsend}\left(f\uparrow \uparrow \right)& \iff & {\forall }_{\stackrel{x_1,x_2\in ]}{x_1<x_2}}f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right),& \\ \text{monoton fallend}\left(f\downarrow \right)& \iff & {\forall }_{\stackrel{x_1,x_2\in ]}{x_1<x_2}}f\left(x_1\right)\ge f\left(x_2\right),& \\ \text{streng monoton wachsend}\left(f\downarrow \downarrow \right)& \iff & {\forall }_{\stackrel{x_1,x_2\in ]}{x_1<x_2}}f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right).& \end{array}$$

Theorem 2.10.20. Es sei $f:]a,b[\to ℝ$ eine monoton wachsende, deren Wertebereich nach oben beschränkt ist. Dann existiert der Grenzwert $\underset{x\to b}{lim}f\left(x\right)$ in $ℝ$.

Problem 2.10.21. Formulieren und beweisen Sie die analoge Aussage für monoton fallende Funktionen und sowie zur Existenz der Grenzwerte $\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)$!