Beweis. Im ersten Schritt betrachten wir den Fall $K=ℝ$. Wegen der Vollständigkeit von $ℝ$ kann man (2.38) folgendermassenßen fortsetzen $$\begin{array}{rcll}{\left\{x_k\right\}}_{k\in \mathbb{N}}\in CF\left({ℝ}^n,d_{\parallel \cdot \parallel }\right)& \iff & {\forall }_{j=1,\dots ,n}{\left\{{\pi }_j\left(x_k\right)\right\}}_{{}_{k\in \mathbb{N}}}\in CF\left(ℝ,d_{|\cdot |}\right)& \\ & \iff & {\forall }_{j=1,\dots ,n}{\exists }_{{\eta }_j\in ℝ}{\eta }_j=\underset{k\to \infty }{lim}{\pi }_j\left(x_k\right).& \end{array}$$

Nach Satz 2.8.5 ist letztere Aussage äquivalent zur Existenz des Grenzwertes $y=\underset{k\to \infty }{lim}{x}_k$ in $\left(K^n,d_{\parallel \cdot \parallel }\right)$ mit $y=\left({\eta }_1,\dots ,{\eta }_n\right)$.

Im zweiten Schritt erinnern wir uns, dass bezüglich der Norm ${ℂ}^n$ und ${ℝ}^{2n}$ isomorph und damit gleichzeitig vollständig sind. □