Grundlegende Definitionen.

2.8.1 Grundlegende Definitionen.

Wir betrachten im weiteren den metrischen Raum $(K^{n}, d_{∥ \cdot ∥})$ , wobei $K$ entweder für den Körper $K = ℝ$ der reellen Zahlen oder für den Körper $K = ℂ$ der komplexen Zahlen steht. Desweiteren ist $d_{∥ \cdot ∥} (x, y) = ∥ x - y ∥$ die kanonische über (2.26) bzw. (2.30) definierte Abstandsfunktion¹¹ auf $ℝ^{n}$ bzw. $ℂ^{n}$ . Da $(K^{n}, d_{∥ \cdot ∥})$ ein metrischer Raum ist, so sind in diesem Raum nach Abschnitt 2.2 damit die Begriffe der $ε$ -Umgebung

U_{ε} (x) = {y \in K^{n} | ∥ x - y ∥ < ε}, ε > 0,

der Konvergenz

y \overset{(K^{n}, d_{∥ \cdot ∥})}{=} lim_{k \to \infty} x_{k} \overset{def}{\Leftrightarrow} \forall_{ε > 0} \exists_{N_{ε} \in ℕ} \forall_{k \geq N_{ε}} \underset{x_{k} \in U_{ε} (y)}{\underset{︸}{∥ x_{k} - y ∥ < ε}}

sowie der Cauchy-Folge

{x_{k}}_{k \in ℕ} \in C F (K^{n}) \overset{def}{\Leftrightarrow} \forall_{ε > 0} \exists_{N_{ε \in ℕ}} \forall_{k, m \geq N_{ε}} ∥ x_{k} - x_{m} ∥ < ε

definiert. Man sagt, dass eine Menge $M \subset K^{n}$ beschränkt ist, falls

\exists_{C \in ℝ} \forall_{x \in M} ∥ x ∥ \leq C .

Eine Folge ${x_{k}}_{k \in ℕ}$ heißt beschränkt, falls die Menge der Folgenglieder $M = \cup_{k \in ℕ} {x_{k}}$ beschränkt ist.

¹¹Im Fall $n = 1$ schreiben wir auch $d_{| \cdot |} (x, y) = | x - y |$ .

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