Ein Vergleich der Strukturen von ℂn und ℝ2n.

2.7.4 Ein Vergleich der Strukturen von $ℂ^{n}$ und $ℝ^{2 n}$ .

So wie sich eine komplexe Zahl $z = x + i y = (x, y)$ als Paar reeller Zahlen darstellen lässt, so kann man einen Vektor $z \in ℂ^{n}$ gegeben durch

z = (z_{1}, \dots, z_{n}) = (x_{1} + i y_{1}, \dots, x_{n} + i y_{n})

mit dem Vektor

ρ = (x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{n}, \dots, x_{n}, y_{n}) \in ℝ^{2 n}

identifizieren. Diese Abbildung zwischen $ℂ^{n}$ und $ℝ^{2 n}$ ist bijektiv und respektiert offensichtlich die Operation der Addition in beiden Räumen, denn $\begin{array}{rcl} z^{'} + z^{″} & = & (z_{1}^{'} + z_{1}^{″}, \dots, z_{n}^{'} + z_{n}^{″}) \\ = & (x_{1}^{'} + x_{1}^{'} + i (y_{1}^{'} + y_{1}^{″}), \dots, x_{n}^{'} + x_{n}^{″} + i (y_{n}^{'} + y_{n}^{″})) \end{array}$

in $ℂ^{n}$ entspricht ja in $ℝ^{2 n}$ dem Vektor

(x_{1}^{'} + x_{1}^{″}, y_{1}^{'} + y_{1}^{″}, \dots, x_{n}^{'} + x_{n}^{″}, y_{n}^{'} + y_{n}^{″}) = ρ^{'} + ρ^{″} .

Ebenso berechnet sich die Norm in beiden Räumen gleich zu

∥ z ∥^{2} = \sum_{k = 1}^{n} | z_{k} |^{2} = \sum_{k = 1}^{n} (x_{k}^{2} + y_{k}^{2}) = ∥ ρ ∥^{2} .

Man nennt deshalb $ℂ^{n}$ und $ℝ^{2 n}$ bezüglich der Addition und der Norm isomorph.

Problem 2.7.4. Es gibt aber strukturelle Unterschiede zwischen $ℂ^{n}$ und $ℝ^{2 n}$ bezüglich der Multiplikation mit einer Konstanten sowie bezüglich des Skalarproduktes. Veranschaulichen Sie sich diese Unterschiede!

Problem 2.7.5. Zeigen Sie, dass $(ℂ, d)$ mit $d (z^{'}, z^{″}) = ∥ z^{'} - z^{″} ∥$ einen metrischen Raum formt!

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2.7.4 Ein Vergleich der Strukturen von ℂn und ℝ2n.

2.7.4 Ein Vergleich der Strukturen von $ℂ^{n}$ und $ℝ^{2 n}$ .