Skizze des Beweises von Satz 2.4.5.

2.4.5 Skizze des Beweises von Satz 2.4.5.

Problem 2.4.6. Vervollständigen Sie den Beweis selbständig nach folgendem Plan:

Schritt 1: Für

y_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = 1 + (\binom{n}{1}) \frac{1}{n} + \dots + (\binom{n}{r}) \frac{1}{n^{r}} + \dots + \frac{1}{n^{n}} .

folgt wegen

(\binom{n}{r}) \frac{1}{n^{r}} = \frac{n (n - 1) \dots (n - r + 1)}{r!} \cdot \frac{1}{n^{r}} < \frac{1}{r!}

die Abschätzung $y_{n} < x_{n} < e$ für $n \in ℕ$ .

Schritt 2: Die Folge ${y_{n}}_{n \in ℕ}$ ist monoton wachsend. Wegen Schritt 1 besitzt diese Folge damit einen Grenzwert $g = lim_{n \to \infty} y_{n}$ wobei $g \leq e$ .

Schritt 3: Für alle $n \in ℕ$ gibt es ein $m (n) \in ℕ$ so dass $y_{m (n)} > x_{n}$ . Daraus folgt $g = e$ .

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