Der Beweis des Satzes von Cauchy

2.2.4 Der Beweis des Satzes von Cauchy - Drei Schritte.

Es sei ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ eine Fundamentalfolge in $ℝ$ . Wir müssen zeigen, dass dann ein $a \in ℝ$ existiert, für welches $x_{n} \to a$ in $(ℝ, d_{| \cdot |})$ . Der Beweis wird in folgende Schritte aufgeteilt:

1. Schritt : Die Konstruktion einer rationalen Folge ${q_{n}}_{n \in ℕ}$ als Kandidat für den Grenzwert $a$ . Für jedes $x_{n} \in ℝ$ gibt es eine darstellende rationale Folge ${r_{k}^{(n)}}_{k \in ℕ} \in C F (ℚ)$ mit ${r_{k}^{(n)}}_{k \in ℕ} \in x_{n}$ . Wir können dabei annehmen, dass für die rationalen Folgenglieder die Aussage

\forall_{n \in ℕ} \forall_{k_{1}, k_{2} \in ℕ} | r_{k_{1}}^{(n)} - r_{k_{2}}^{(n)} | < {(n + 1)}^{- 1}

(2.13)

erfüllt ist. Tatschlich, für eine beliebige darstellende Folge ${{\tilde{r}}_{k}^{(n)}}_{k \in ℕ} \in x_{n}$ gibt es wegen ${{\tilde{r}}_{k}^{(n)}}_{k \in ℕ} \in C F (ℚ)$ eine Zahl $Ñ_{n} \in ℕ$ , so dass die Ungleichung $| {\tilde{r}}_{k_{1}}^{(n)} - {\tilde{r}}_{k_{2}}^{(n)} | < {(n + 1)}^{- 1}$ für $k_{1}, k_{2} \geq Ñ_{n}$ gilt. Durch Streichen der ersten $Ñ_{n}$ Folgenglieder erhält man dann die Teilfolge ${r_{k}^{(n)}}_{k \in ℕ} = {{\tilde{r}}_{k + Ñ_{n}}^{(n)}}_{k \in ℕ}$ für alle $n \in ℕ$ . Nach (2.11) gilt ${r_{k}^{(n)}}_{k \in ℕ} \in x_{n}$ , wobei zudem (2.13) erfüllt ist.

Wir listen nun die reellen Folgenglieder $x_{n}$ und die gewählten darstellenden rationalen Folgen ${r_{k}^{(n)}}_{k \in ℕ} \in x_{n}$ auf $\begin{array}{rcl} x_{1} & ∋ & {r_{1}^{(1)}, r_{2}^{(1)}, r_{3}^{(1)}, r_{4}^{(1)}, \dots} \\ x_{2} & ∋ & {r_{1}^{(2)}, r_{2}^{(2)}, r_{3}^{(2)}, r_{4}^{(2)}, \dots} \\ x_{3} & ∋ & {r_{1}^{(3)}, r_{2}^{(3)}, r_{3}^{(3)}, r_{4}^{(3)}, \dots} \\ ⋮ \end{array}$

und wählen die rationale Diagonalfolge $q_{n} = r_{n}^{(n)} \in ℚ$ für $n \in ℕ$ .

2. Schritt: Die Folge ${q_{n}}_{n \in ℕ}$ ist eine rationale Cauchy-Folge. Nach der Dreiecksungleichung in $ℚ$ und (2.13) gilt $\begin{array}{rcl} | q_{m} - q_{n} | & = & | (r_{m}^{(m)} - r_{k}^{(m)}) + (r_{k}^{(m)} - r_{k}^{(n)}) + (r_{k}^{(n)} - r_{n}^{(n)}) | \\ \leq & | r_{m}^{(m)} - r_{k}^{(m)} | + | r_{k}^{(m)} - r_{k}^{(n)} | + | r_{k}^{(n)} - r_{n}^{(n)} | \\ < & {(m + 1)}^{- 1} + | r_{k}^{(m)} - r_{k}^{(n)} | + {(n + 1)}^{- 1} & (2.14) \end{array}$

für beliebige $k, m, n \in ℕ$ . Wegen ${r_{k}^{(m)}}_{k \in ℕ} \in x_{m}$ und ${r_{k}^{(n)}}_{k \in ℕ} \in x_{n}$ gilt nach der Definition der Addition und Multiplikation in $ℝ$ auch

{r_{k}^{(m)} - r_{k}^{(n)}}_{k \in ℕ} \in x_{m} - x_{n}

und wegen (2.12) schliesslich

{| r_{k}^{(m)} - r_{k}^{(n)} |}_{k \in ℕ} \in | x_{m} - x_{n} | .

Lemma 2.2.12 impliziert dann

lim_{k \to \infty} | r_{k}^{(m)} - r_{k}^{(n)} | \overset{(ℝ, d_{| \cdot |})}{=} | x_{m} - x_{n} | .

Wir können damit nach Satz 2.1.11 in (2.14) zum Grenzwert übergehen und erhalten dabei

| q_{m} - q_{n} | \leq \frac{1}{m + 1} + | x_{m} - x_{n} | + \frac{1}{n + 1} für  alle m, n \in ℕ .

Da ${x_{n}}_{n \in ℕ} \in C F (ℝ)$ wird $| x_{m} - x_{n} | < ε$ für $m, n \geq N_{ε}^{^{'}}$ und damit offensichtlich auch $| q_{m} - q_{n} | < ε$ für $m, n \geq N_{ε}^{^{″}} = max {N_{ε ∕ 3}^{^{'}}, 3 ε^{- 1}}$ . Damit gilt ${q_{n}}_{n \in ℕ} \in C F (ℚ)$ und es gibt somit eine reelle Zahl

a = {[{q_{n}}_{n \in ℕ}]}_{\sim} .

3. Schritt: Wir zeigen, dass $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ in $(ℝ, d_{| \cdot |})$ .

Aus ${r_{k}^{(n)}}_{k \in ℕ} \in x_{n}$ und Lemma 2.2.12 folgt $lim_{k \to \infty} r_{k}^{(n)} = x_{n}$ . Wir können dann nach den Sätzen 2.1.10 und 2.1.11 in (2.13) zum Grenzwert $k = k_{2} \to \infty$ übergehen (wobei $k_{1}$ und $n$ unverändert bleiben)

| r_{k_{1}}^{(n)} - x_{n} | \leq \frac{1}{n + 1}, k_{1}, n \in ℕ .

Setzen wir hier $k_{1} = n$ so ergibt sich $| q_{n} - x_{n} | < {(n + 1)}^{- 1}$ für $n \in ℕ$ . Daraus folgt

lim_{n \to \infty} | q_{n} - x_{n} | \overset{(ℝ, d_{| \cdot |})}{=} 0 .

(2.15)

Wegen ${q_{n}}_{n \in ℕ} \in a$ gilt nach Lemma 2.2.12 und Problem 2.2.5 zudem

lim_{n \to \infty} | a - q_{n} | \overset{(ℝ, d_{| \cdot |})}{=} 0 .

(2.16)

Nach der Dreiecksungleichung gilt

0 \leq | a - x_{n} | \leq | a - q_{n} | + | q_{n} - x_{n} |, n \in ℕ .

Damit ist die Folge ${| a - x_{n} |}_{n \in ℕ}$ wegen (2.15), (2.16) und (2.3) zwischen zwei gegen $0$ konvergente Folgen eingeschachtelt, woraus nach Satz 2.1.12

lim_{n \to \infty} | a - x_{n} | \overset{(ℝ, d_{| \cdot |})}{=} 0

folgt. Letzteres impliziert nach Problem 2.2.5 auch $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ .

Damit ist der Beweis des Satzes von Cauchy zur Vollständigkeit von $ℝ$ abgeschlossen.

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