2.1.3  Beschränkte Mengen in .

Definition 2.1.5. Eine Menge M heisst beschränkt, genau dann wenn folgende Aussage wahr ist:

cxM|x| c. (2.1)

Ist eine Menge M nicht beschränkt, so heisst diese Menge unbeschränkt.

Lemma 2.1.6. Jede unbeschränkte Menge M enthält unendlich viele Elemente.

Beweis. Nach der Negation von (2.1) ist eine Menge unbeschränkt genau dann wenn

cx=xcMc < |x|. (2.2)

Man wähle nun zu einem gegebenen c1 > 0 ein x1 M mit |x1| > c1 und berechne c2 = 2|x1|. Setzt man diesen Prozess iterativ fort, so findet man nach (2.2) immer wieder ein xk M mit |xk| > ck = 2|xk1|. Damit ist klar |xk| > |xl| also auch xkxl für 1 l < k; diese Elemente sind paarweise verschieden Damit ist eine Bijektion von auf die Teilmenge k{xk} M konstruiert, woraus 0 card(M) folgt, also enthält M unendlich viele Elemente (siehe Problem 1.10.15). □

Im Umkehrschluss folgt nun

Corollary 2.1.7. Jede endliche Teilmenge M ist beschränkt.

 

Corollary 2.1.8. Die Vereinigung endlich vieler beschränkter Mengen ist beschränkt.

Beweis. Es seien Mk endlich viele beschränkte Mengen und ck nach (2.1) geeignete Konstanten für diese Mengen, d.h.

xMk|x| ck,k = 1,,n.

Die Menge der Zahlen |ck| mit k = 1,,n ist endlich und damit beschränkt, d.h.

ck=1,,n|ck| c.

Aus letzterem folgt |x| c für x Mk für beliebiges k = 1,,n und damit also für beliebiges x k=1nM k. □

Theorem 2.1.9. Es sei {xn}n eine Folge reeller Zahlen, a und a = lim nxn. Dann ist die Menge der Folgenglieder2 M = n{xn} beschränkt. Ausserdem konvergiert jede Teilfolge3 {xn}n=n0 ebenfalls gegen a.

Beweis. Wähle ein ε > 0 und das entsprechende Nε nach Definition der Konvergenz. Damit gilt

xn Uε(a)und  damitn,nNε(|xn||a ε||xn||a + ε|).

Damit ist die Menge kNε{xk} beschränkt. Da weiterhin {x1,,xNε1} endlich und damit beschränkt ist, so ist M als Vereinigung dieser beider Mengen ebenfalls beschränkt. Der Beweis der zweiten Aussage folgt direkt aus der Definition des reellen Grenzwertes. □

2Wir verwenden diese etwas umständliche Formulierung um nochmals zu unterstreichen, dass Folgen keine Mengen sind. Oft sagt man einfach kürzer, das die Folge {xn} beschränkt ist.

3Eine Teilfolge erhält man, indem man aus einer gegebenen Folge endlich oder unendlich viele Elemente herausstreicht, dabei die Reihenfolge der verbleibenden unendlich vielen Folgenglieder aber beibehält. In diesem Fall werden die ersten n0 1 Folgenglieder gestrichen.