1.7.3  Der Grenzwert rationaler Folgen.

Definition 1.7.3. Es sei {rn}n, rn , eine Folge rationaler Zahlen. Dann ist a ein Grenzwert der Folge {rn}n genau dann wenn folgende Aussage wahr ist:

ε>0 εNεnNεnd(a,rn) = |a rn| < ε.

Man schreibt dann

a = lim nrn,

wobei diese Notation zwei Sachverhalte ausdrückt: Erstens konvergiert die Folge {rn}n in , d.h. es gibt einen rationalen Grenzwert, und zweitens ist dieser gleich a.

Example 1.7.4. Wir betrachten die Folge rn = n 1+n für n . Dann gilt 1 = lim nrn, da bei beliebig gegebenem rationalem ε > 0 für

n > Nε = max{[ε1], 1}

gilt

d(1,rn) = |1 rn| = 1 + n n 1 + n = 1 1 + n < 1 1 + Nε < ε.

(Hierbei ist [q] die größte ganze Zahl m mit m q.)

 

Die Folge rn = (1)n konvergiert nicht. Wählt man ε > 12, so müsste ein Grenzwert a gleichzeitig die Ungleichungen 12 < a < 32 als auch 32 < a < 12 erfüllen, was unmöglich ist.

Theorem 1.7.5. Der Grenzwert einer in konvergenten Folge {rn}n rationaler Zahlen ist eindeutig bestimmt, d.h.

(a = lim nrn) (a = lim nrn) (a = a).

Beweis. Es sei a = lim nrn und a = lim nrn mit aa. Aus letzterem folgt

ε = 31d(a,a) = 31|a a| > 0.

Für diese positive Zahl ε gibt es wegen der Konvergenz zugehörige natürliche Zahlen Nε und Nε, so da

nNε|a a n| < ε,nNε|a an| < ε.

Für n max{Nε,N ε} gelten beide Ungleichungen gleichzeitig, und damit nach (1.23) auch

|a a| = |(a a n) + (an a)||a a n| + |a a n| < 2ε = 2 3|a a|

und damit |a a| < 2 3|a a|, also |a a| = 0. Dies steht im Widerspruch zur Gegenannahme aa. □

Theorem 1.7.6. Es seine {rn}n und {sn}n in konvergente rationale Folgen, sowie

a = lim nrn und b = lim nsn. Dann gilt a + b = lim n(rn + sn), (1.27) a b = lim n(rn sn). (1.28)

Falls zudem sn0 und b0, so gilt auch

1 b = lim n 1 sn. (1.29)

Beweis. Wir beweisen (1.27). Aus der Konvergenz folgt für beliebiges ε > 0 die Existenz von Nε2a und Nε2b mit der Eigenschaft

nNε2a|a rn| < ε 2,nNε2b|b sn| < ε 2.

Also gelten für n max{Nε2a,N ε2b} beide Ungleichungen gleichzeitig, und damit auch nach der Dreiecksungleichung

|(a + b) (rn + sn)||a rn| + |b sn| < ε.

Problem 1.7.7. Beweisen Sie (1.28)! Zeigen Sie dazu zunächst, dass es für jede konvergente Folge {rn}n eine Konstante C gibt mit der Eigenschaft

n|rn| C.

 

Problem 1.7.8. Beweisen Sie (1.29)! Zeigen Sie dazu zunächst, dass es für jede konvergente Folge {sn}n mit sn0 und b = lim nsn10 eine Konstante C gibt mit der Eigenschaft

n|sn1| C.