Transfinite Kardinalzahlen. Abzahlbare Mengen.

1.10.6 Transfinite Kardinalzahlen. Abzählbare Mengen.

Wir wenden uns nun der Beschreibung der unendlichen Kardinalzahlen zu. So ist z.B. zu klären, ob und wieviele transfinite Kardinalzahlen, d.h. verschiedene Typen der Unendlichkeit es gibt.

Oben wurde bereits eine bijektive Abbildung zwischen $ℕ$ und $ℕ \ {1}$ konstruiert, damit ist $ℕ$ unendlich. Mit $ℵ_{0} = card (ℕ)$ bezeichnen wir die (transfinite) Kardinalzahl der Menge der natürlichen Zahlen.¹⁰

Definition 1.10.13. Eine Menge $A$ heißt abzählbar unendlich genau dann wenn $card (A) = ℵ_{0}$ , d.h. wenn $A$ und $ℕ$ gleichmächtig sind.

Für eine abzählbare Menge $A$ gibt es eine bijektive Abbildung zwischen $ℕ$ , d.h. $A$ lässt sich als eine unendliche Liste

A = {a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots}

schreiben, durch fortfahrendes Abzählen werden alle Elemente von $A$ erfasst, allerdings bricht der Zählprozess nicht ab.

Theorem 1.10.14. Die Kardinalzahl $ℵ_{0}$ ist das kleinste Element der Menge der transfiniten Kardinalzahlen, d.h. für jede transfinite Kardinalzahl $card (E)$ gilt $ℵ_{0} \leq card (E)$ .

Beweis. Sei $card$ $(E)$ eine transfinite Kardinalzahl und $E$ eine zugehörige Menge. Wähle $a_{1} \in E$ , $a_{2} \in E \ {a_{1}}$ , $a_{3} \in E \ {a_{1}, a_{2}}$ , $\dots$ , $a_{n} \in E \ {a_{1}, \dots, a_{n - 1}}$ , usw. Dieser Prozess kann nicht abbrechen, sonst gilt $E = {a_{1}, \dots, a_{n}}$ und $E$ wäre endlich. Daraus folgt

{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n} \dots} = A \subset E .

Wegen $card (A) = ℵ_{0}$ folgt damit $ℵ_{0} \leq card (E)$ . □

Problem 1.10.15. Es sei $E$ eine Menge mit $ℵ_{0} \leq card (E)$ . Beweisen Sie unter Zurückführung auf die entsprechende Definition, dass $E$ eine unendliche Menge ist.

Definition 1.10.16. Eine Menge $A$ heisst höchstens abzählbar, falls

card (A) \leq ℵ_{0},

d.h. $A$ ist endlich oder abzählbar.

Theorem 1.10.17. Die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen ist abzählbar.

Beweis. Die abzählbare Familie von Mengen lässt sich als $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots$ auflisten und jede dieser abzählbaren Mengen enthält eine Liste von Elementen

A_{k} = {a_{1}^{(k)}, a_{2}^{(k)}, a_{3}^{(k)}, \dots}, k \in ℕ .

Wir benutzen nun das rechteckige Schema $\begin{array}{rcl} A_{1} & = & {a_{1}^{(1)}, a_{2}^{(1)}, a_{3}^{(1)}, \dots} \\ A_{2} & = & {a_{1}^{(2)}, a_{2}^{(2)}, a_{3}^{(2)}, \dots} \\ A_{3} & = & {a_{1}^{(3)}, a_{2}^{(3)}, a_{3}^{(3)}, \dots} \\ ⋮ \end{array}$

und konstruieren die Liste

a_{1}^{(1)}, a_{2}^{(1)}, a_{1}^{(2)}, a_{3}^{(1)}, a_{2}^{(2)}, a_{1}^{(3)}, \dots

Aus dieser Liste streichen wir Einträge, welche eventuell bereits links davon stehende Elemente der Liste duplizieren. Damit haben wir eine Abzählung von $\cup_{k} A_{k}$ konstruiert, welche damit höchstens abzählbar ist. Da diese Vereinigung unendliche Teilmengen $A_{k}$ enthält, ist diese selbst auch unendlich und damit abzählbar. □

Problem 1.10.18. Die Vereinigung von höchstens abzählbar vielen höchstens abzählbarer Mengen ist höchstens abzählbar.

Problem 1.10.19. Beweisen Sie, dass $card (ℚ) = ℵ_{0}$ .

¹⁰ $ℵ_{0}$ Lies: Aleph Null

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