Grenzwerte reeller Folgen.

2.1.2 Grenzwerte reeller Folgen.

Wir betrachten nun eine Folge ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ reeller Zahlen $x_{j} \in ℝ$ und definieren den Begriff des Grenzwertes in $ℝ$ :

Definition 2.1.1. Die Folge ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ konvergiert für $n \to \infty$ gegen den Grenzwert $a \in ℝ$ , genau dann wenn folgende Aussage wahr ist:

\forall_{ε > 0, ε \in ℝ} \exists_{N_{ε} \in ℕ} \forall_{n \in ℕ, n \geq N_{ε}} x_{n} \in U_{ε} (a) .

Man schreibt dann¹ $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ bzw. $x_{n} \overset{n \to \infty}{\to} a$ .

Remark 2.1.2. Für rationale Folgen $x_{n} \in ℚ$ , $n \in ℕ$ und rationale Grenzwerte $a$ stimmt diese Definition mit jener der Konvergenz in $ℚ$ überein: Zu jedem $ε > 0,$ $ε \in ℝ$ existiert ja ein $\tilde{ε} \in ℚ$ mit $0 < \tilde{ε} < ε < 2 \tilde{ε}$ , damit sind die Definitionen 2.1.1 und 1.7.3 für eine solche Folge gleichzeitig erfüllt.

Remark 2.1.3. Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt: Man kann leicht den Beweis von Satz 1.7.5 für reelle Grenzwerte reeller Folgen verallgemeinern..

Example 2.1.4. Es sei ${x_{n}}_{n \in ℕ} = {c}_{ℕ}$ die konstante Folge. Dann gilt offensichtlich $x_{n} \in U_{ε} (c)$ für alle $n \in ℕ$ und $ε > 0$ und damit $c = lim_{n \to \infty} c$ , die konstante Folge konvergiert also.

¹Wiederum beinhaltet diese Notation sowohl das Faktum der Konvergenz der Folge als auch den Wert des Grenzwertes.

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