2.1.1  Intervalle und $\epsilon$-Umgebungen.

Für zwei reelle Zahlen $a,b\in ℝ$ definieren wir das $$\begin{array}{rcll}\text{offene}\text{Intervall}]a,b[& \stackrel{\text{def}}{=}& \left\{x\in ℝ|a<x<b\right\},& \\ \text{halboffene}\text{Intervall}]a,b]& \stackrel{\text{def}}{=}& \left\{x\in ℝ|a<x\le b\right\},& \\ \text{halboffene}\text{Intervall}[a,b[& \stackrel{\text{def}}{=}& \left\{x\in ℝ|a\le x<b\right\},& \\ \text{abgeschlossene}\text{Intervall}\left[a,b\right]& \stackrel{\text{def}}{=}& \left\{x\in ℝ|a\le x\le b\right\}.& \end{array}$$

Für $a>b$ sind alle diese Mengen leer. Desweiteren definieren wir für gegebenes $\epsilon >0,$ $\epsilon \in ℝ$ und $x\in ℝ$ die $\epsilon$-Umgebung von $x$ als

Diese Umgebungen wachsen offensichtlich mit $\epsilon$, d.h. für gegebenes $x\in ℝ$ gilt