4.10.3  Der Oberflächeninhalt rotationssymmetrischer Körper.

Auch der Begriff des Oberflächeninhaltes von Körpern wird im zweiten Teil des Vorlesungszyklus im Einzelnen diskutiert. Wir beschränken uns hier auf folgende Motivation:

Es sei $f\in C^1(\left[a,b\right],[0,+\infty \left[\right)$ und $\delta ={\left\{x_k\right\}}_{k=0}^n$ sei eine Zerlegung von $\left[a,b\right]$. So wie die Länge einer rektifizierbaren Kurve durch die Längen von Polygonzügen approximiert wird, so soll der Inhalt $O\left(R\right)$ der durch Rotation dieser Kurve um die $x$-Achse entstehenden Oberfläche

durch die Oberflächeninhalte der rotierten Polygonzge angenähert werden. Letztere entsprechen Summen der Inhalte der Rotationsflächen von abgeschnittenen Kegeln $$\begin{array}{rcll}{K}_k^{\delta }& =& \left\{\left(x,y,z\right)|x\in {\Delta }_k\wedge y^2+z^2={\left(r_k\left(x\right)\right)}^2\right\},& \\ r_k\left(x\right)& =& \frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k}f\left(x_{k+1}\right)+\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_k}f\left(x_k\right).& \end{array}$$

Diese Kegelstumpfoberflächen kann man in der Ebene abrollen und erhält dabei in den Polarkoordinaten $\left(\rho ,\varphi \right)$ das Ringsegment

mit dem inneren und äusseren Radius ${\tau }_k^{\prime }$ und ${\tau }_k^{\prime \prime }$ sowie der Öffnungswinkel $\alpha$. Da beim Abrollen die Länge des inneren und äusseren Peripheriesegmentes dem Umfang der Grund- bzw. Deckfläche des Kegelstumpfes gleichen muss, so gilt

Der Satz von Pythagoras liefert zudem

mit dem Differenzenquotienten

Der Inhalt $O\left(K_k^{\delta }\right)$ der Rotationsfläche $K_k^{\delta }$ gleicht demnach dem Flächeninhalt $A\left(X_k^{\delta }\right)$ des Ringsegmentes $X_k^{\delta }$, welches als Differenz der Inhalte zweier Kreissegmente durch $$\begin{array}{rcll}O\left(K_k^{\delta }\right)=A\left(X_k^{\delta }\right)& =& \frac{\alpha }{2}\left({\left({\tau }_k^{\prime \prime }\right)}^2-{\left({\tau }_k^{\prime }\right)}^2\right)=\frac{\alpha }{2}\left({\tau }_k^{\prime \prime }+{\tau }_k^{\prime }\right)\left({\tau }_k^{\prime \prime }-{\tau }_k^{\prime }\right)& \\ & =& \pi \left(f\left(x_k\right)+f\left(x_{k+1}\right)\right)\sqrt{1+{\left(\phi \left(f;x_k,\Delta x_k\right)\right)}^2}\Delta x_k& \end{array}$$

gegeben ist. Mit Hilfe der Formel von Lagrange erhält man dabei

für ein geeignetes ${\xi }_k\in {\Delta }_k$. Es sei nun

Dann gilt $$\begin{array}{rcll}{m}_k:=\underset{x\in {\Delta }_k}{min}g\left(x\right)& \le & O\left(K_k^{\delta }\right)+2\pi \omega \left(f,{\Delta }_k\right)\underset{x\in {\Delta }_k}{max}\sqrt{1+{\left(f^{\prime }\left(x\right)\right)}^2},& \\ M_k:=\underset{x\in {\Delta }_k}{max}g\left(x\right)& \ge & O\left(K_k^{\delta }\right)-2\pi \omega \left(f,{\Delta }_k\right)\underset{x\in {\Delta }_k}{max}\sqrt{1+{\left(f^{\prime }\left(x\right)\right)}^2},& \end{array}$$

und wegen der Beschränktheit von $f^{\prime }$ auf $\left[a,b\right]$ folglich $$\begin{array}{rcll}s\left(g,\delta \right)=\sum _{k=0}^{n-1}{m}_k{\Delta }_k& \le & \sum _{k=0}^{n-1}O\left(K_k^{\delta }\right)+2\pi C\sum _{k=0}^{n-1}\omega \left(f,{\Delta }_k\right)\Delta x_k,& \\ S\left(g,\delta \right)=\sum _{k=0}^{n-1}{M}_k{\Delta }_k& \ge & \sum _{k=0}^{n-1}O\left(K_k^{\delta }\right)-2\pi C\sum _{k=0}^{n-1}\omega \left(f,{\Delta }_k\right)\Delta x_k,& \end{array}$$

mit $C:=\underset{x\in \left[a,b\right]}{max}\sqrt{1+{\left(f^{\prime }\left(x\right)\right)}^2}$. Es sei

Da $f$ sowie $g$ integrierbar sind, so konvergiert offensichtlich

für $\lambda \left(\delta \right)\to 0$ und damit auch ${\sum }_{k}O\left(K_k^{\delta }\right)\to J$ für $\lambda \left(\delta \right)\to 0$. Wir verstehen diesen Grenzwert damit als den Oberflächeninhalt von $R$ und erhalten

Parametrisiert man die Kurve $\phi \left(x\right)=\left(x,f\left(x\right)\right)=r\left(s\right)=\left(\tilde{x}\left(s\right),ỹ\left(s\right)\right)$ durch ihre Bogenlänge $s=S\left(x\right)$, so geht (4.79) wegen (4.65) und damit

durch Substitution der Integrationsvariablen in

über. Man sieht leicht, dass diese Formel auch für Oberflächen $R$ verallgemeinern lässt, welche durch Rotation einer geschlossenen Jordanschen Kurve ${\Gamma }_{\phi }$ der Klasse $C^1$ um die $x$-Achse erzeugt werden, wobei die Kurve ${\Gamma }_{\phi }$ die $x$-Achse zwar berühren nicht aber durchschneiden darf.