4.10.2  Das Volumen rotationssymmetrischer Körper

Das Volumen $V\left(Y\right)$ einer Menge $Y\subset {ℝ}^3$ lässt sich, ähnlich wie oben für den Flächeninhalt beschrieben, als Grenzwert der Volumina eingeschriebener und umschreibender Polyeder einführen. Wir werden dies nicht im Detail ausführen und verweisen auf Fichtenholz Band 2. Wir werden uns dem allgemeinen Volumenbegriff im zweiten Teil dieses Vorlesungszyklus zuwenden und betrachten hier nur rotationssymmetrische Körper.

Wir gehen davon aus, dass das Volumen eines Zylinders durch das Produkt aus seiner Grundfläche und seiner Höhe gegeben ist. Es sei $f:\left[a,b\right]\to ℝ$ eine stetige, nichtnegative Funktion und $Y$ sei der durch Rotation des Graphen dieser Funktion um die $x$-Achse entstehende Körper

Für eine Zerlegung $\delta ={\left\{x_k\right\}}_{k=0}^n$ von $\left[a,b\right]$ setzen wir

Wir betrachten die Vereinigung von Zylindern

wobei $$\begin{array}{rcll}{Z}_k^{\prime }& =& \left\{\left(x,y,z\right)|x\in \left[a,b\right]\wedge y^2+z^2\le m_k^2\right\},& \\ Z_k^{\prime \prime }& =& \left\{\left(x,y,z\right)|x\in \left[a,b\right]\wedge y^2+z^2\le M_k^2\right\}.& \end{array}$$

Wegen $Y_{\delta }^{\prime }\subset Y\subset Y_{\delta }^{\prime \prime }$ soll $V\left(Y_{\delta }^{\prime }\right)\le V\left(Y\right)\le V\left(Y_{\delta }^{\prime \prime }\right)$ gelten. Die Volumina der Körper $Y_{\delta }^{\prime }$ und $Y_{\delta }^{\prime \prime }$ gleichen den Summen der Volumina der entsprechenden Zylinder, welche ihrerseits auf Darboux-Summen des Integrales $J={\int \; <!--nolimits-->}_a^b{f}^{2}dx$ führen $$\begin{array}{rcll}V\left(Y_{\delta }^{\prime }\right)& =& \sum _{k=0}^{n-1}V\left(Z_k^{\prime }\right)=\pi \sum _{k=0}^{n-1}{m}_k^2\Delta x_k=\pi s\left(f^2,\delta \right),& \\ V\left(Y_{\delta }^{\prime \prime }\right)& =& \sum _{k=0}^{n-1}V\left(Z_k^{\prime \prime }\right)=\pi \sum _{k=0}^{n-1}{M}_k^2\Delta x_k=\pi S\left(f^2,\delta \right).& \end{array}$$

Da $s\left(f^2,\delta \right)\to J$ und $S\left(f^2,\delta \right)\to J$ für $\lambda \left(\delta \right)\to 0$, so folgt