4.9.5  Zur Berechnung des Krümmungsvektors.

Die kanonische Parametrisierung ist der natürliche Weg zur Einführung des Tangential- und des Krümmungsvektors. Ist jedoch die Kurve zu Beginn in einer anderen Parametrisierung $\phi$ gegeben, so ist es für praktische Anwendungen wünschenswert, den Krümmungsvektor direkt durch $\phi$ und andere Ableitungen auszudrücken, ohne dabei den Umweg über die Bogenlänge der Kurve gehen zu müssen.

Wir setzen voraus, dass $\phi :\left[a,b\right]\to {ℝ}^n$ eine Jordansche Kurve der Klasse $C^2$ erzeugt, $r$ sei die kanonische Parametrisierung. Setzt man $s=S\left(t\right)$, so gilt nach (4.66)

Weiter ist nach (4.67) der Tangentialvektor durch

gegeben. Der Krümmungsvektor gleicht

Differenziert man (4.70) in $t$, so erhält man unter Berücksichtigung von (4.69) $$\begin{array}{rcll}\frac{d\left(\tau \circ S\right)\left(t\right)}{dt}& =& \frac{{\phi }^{\prime \prime }\left(t\right)\frac{dS\left(t\right)}{dt}-{\phi }^{\prime }\left(t\right)\frac{d^{2}S\left(t\right)}{dt}}{{\left(\frac{dS\left(t\right)}{dt}\right)}^2}& \\ & =& \frac{{\phi }^{\prime \prime }\left(t\right)\parallel {\phi }^{\prime }\left(t\right)\parallel -{\phi }^{\prime }\left(t\right)\frac{d^{2}S\left(t\right)}{dt}}{\parallel {\phi }^{\prime }\left(t\right){\parallel }^2}.& \text{(4.72)}\end{array}$$

Zur Berechnung von $\frac{d^{2}S\left(t\right)}{dt}$ differenzieren wir zunächst die Identität

und erhalten

und damit wegen (4.69)

Setzt man (4.73) in (4.72) und dies wiederum in (4.71) ein, so ergibt sich abschliessend

Dies ist der Krümmungsvektor an ${\Gamma }_{\phi }$ im Punkt $r\left(s\right)=\phi \left(t\right)$.