Die Krummung einer Kurve in ℝ3 und ℝ2.

4.9.6 Die Krümmung einer Kurve in $ℝ^{3}$ und $ℝ^{2}$ .

Im Spezialfall $n = 3$ führen wir die Hilfsvektoren

A = C = \frac{φ^{'} (t)}{∥ φ^{'} (t) ∥^{2}} \in ℝ^{3}, B = φ^{″} (t) \in ℝ^{3}

ein. Dann gilt offensichtlich

⟨ A, C ⟩ = \frac{1}{∥ φ^{'} (t) ∥^{2}}, ⟨ A, B ⟩ = \frac{⟨ φ^{'} (t), φ^{″} (t) ⟩}{∥ φ^{'} (t) ∥^{2}}

und Formel (4.74) nimmt die Form

κ (s) = B ⟨ A, C ⟩ - C ⟨ A, B ⟩

an. Wie aus der linearen Algebra bekannt, kann man diesen Ausdruck im dreidimensionalen Raum wegen der Identität

B ⟨ A, C ⟩ - C ⟨ A, B ⟩ = [A, [B, C]]

mit Hilfe des Vektorproduktes

[(x_{1}, x_{2}, x_{3}), (y_{1}, y_{2}, y_{3})] = (x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2}, x_{3} y_{1} - x_{1} y_{3}, x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})

folgendermassen umschreiben

κ (s) = \frac{1}{∥ φ^{'} (t) ∥^{4}} [φ^{'} (t), [φ^{″} (t), φ^{'} (t)]], s = S (t) .

Da in unserem Fall $A = C$ gilt, so steht $[B, C] = [B, A]$ nach der Definition des Vektorproduktes senkrecht auf $A$ , und damit gilt

∥ [A, [B, A]] ∥ = ∥ A ∥ \cdot ∥ [B, A] ∥ .

Daraus folgt schliesslich

K (s) = ∥ κ (s) ∥ = \frac{∥ [φ^{″} (t), φ^{'} (t)] ∥}{∥ φ^{'} (t) ∥^{3}}, s = S (t) .

Den Krümmungsvektor einer ebenen Kurve erhält man, wenn man in den obigen Formeln

φ = (φ_{1}, φ_{2}, 0) φ^{'} = (φ_{1}^{'}, φ_{2}^{'}, 0), φ^{″} = (φ_{1}^{″}, φ_{2}^{″}, 0)

setzt. Dann gilt $[φ^{″}, φ^{'}] = (0, 0, φ_{1}^{″} φ_{2}^{'} - φ_{2}^{″} φ_{1}^{'})$ und somit

[φ^{'}, [φ^{″}, φ^{'}]] = (φ_{1}^{″} φ_{2}^{'} - φ_{2}^{″} φ_{1}^{'}) (φ_{2}^{'}, - φ_{1}^{'}, 0) .

Daraus folgt

κ (s) = \frac{φ_{1}^{″} (t) φ_{2}^{'} (t) - φ_{2}^{″} (t) φ_{1}^{'} (t)}{{({(φ_{1}^{'} (t))}^{2} + {(φ_{2}^{'} (t))}^{2})}^{2}} (φ_{2}^{'}, - φ_{1}^{'}), s = S (t),

und

K (s) = \frac{| φ_{1}^{″} (t) φ_{2}^{'} (t) - φ_{2}^{″} (t) φ_{1}^{'} (t) |}{| {(φ_{1}^{'} (t))}^{2} + {(φ_{2}^{'} (t))}^{2} |^{3 ∕ 2}}, s = S (t) .

Für die spezielle Parametrisierung

φ_{1} (t) = φ_{1} (x) = x, φ_{2} (t) = φ_{2} (x) = y (x)

gilt $φ_{1}^{'} = 1, φ_{1}^{″} = 0$ und damit

K (x) = \frac{| y^{″} (x) |}{{(1 + {(y^{'} (x))}^{2})}^{3 ∕ 2}} .

Problem 4.9.13. Berechnen Sie die Krümmung einer ebenen Kurve in Polarkoordinaten!

Example 4.9.14. Als erstes Beispiel betrachten wir die Krümmung einer Ellipse in der Ebene

φ (t) = (α cos t, β sin t), t \in [0, 2 π], α, β > 0 .

Dann gilt $φ^{'} (t) = (- α sin t, β cos t)$ und $φ^{''} (t) = (- α cos t, - β sin t)$ und folglich $\begin{array}{rcl} κ & = & \frac{- α β (β cos t, α sin t)}{{(α^{2} {sin}^{2} t + β^{2} {cos}^{2} t)}^{2}}, \\ K & = & \frac{α β}{{(α^{2} {sin}^{2} t + β^{2} {cos}^{2} t)}^{3 ∕ 2}} . \end{array}$

Im Fall $α = β$ gilt $K = α^{- 1}$ .

Example 4.9.15. Wir betrachten die Schraubenlinie

φ (t) = (α cos t, α sin t, β t), t \in [0, 2 π], α, β > 0 .

Dann ist $\begin{array}{rcl} φ^{'} (t) & = & (- α sin t, α cos t, β) \\ φ^{″} (t) & = & (- α cos t, - α sin t, 0), \end{array}$

und

[φ^{″} (t), φ^{'} (t)] = (- α β sin t, α β cos t, - α^{2}) .

Daraus folgt

[φ^{'} (t), [φ^{″} (t), φ^{'} (t)]] = α (α^{2} + β^{2}) (- cos t, - sin t, 0)

sowie $\begin{array}{rcl} κ & = & \frac{α (- cos t, - sin t, 0)}{α^{2} + β^{2}}, \\ K & = & \frac{α}{α^{2} + β^{2}} . \end{array}$

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4.9.6 Die Krümmung einer Kurve in ℝ3 und ℝ2.

4.9.6 Die Krümmung einer Kurve in $ℝ^{3}$ und $ℝ^{2}$ .