4.8.3  Die Trapezformel: Stückweise Approximation mit $P_1$.

Man kann nun versuchen, die Trapezformel zu verbessern, indem man $f\left(x\right)$ auf ${\Delta }_k=\left[x_k,x_{k+1}\right]$ durch das Lagrange-Polynom ersten Grades

ersetzt, $k=0,\dots ,n-1$. Man sieht leicht, dass

Damit ergibt sich $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx& =& \sum _{k=0}^{n-1}{\int \; <!--nolimits-->}_{x_k}^{x_{k+1}}f\left(x\right)dx& \\ & \approx & \sum _{k=0}^{n-1}{\int \; <!--nolimits-->}_{x_k}^{x_{k+1}}{P}_1\left(x\right)dx& \\ & \approx & \sum _{k=0}^{n-1}h\cdot \frac{f\left(x_k\right)+f\left(x_{k+1}\right)}{2}& \end{array}$$

und folglich

Für die Fehlerabschätzung setzen wir voraus, dass $f\in C^2\left(\left[a,b\right],ℝ\right)$. Dann gilt nach (4.46)

für ein geeignetes ${\theta }_x\in {\Delta }_k$. Als Differenz zweier integrierbarer Funktionen ist die rechte Seite auf ${\Delta }_k$ integrierbar und $$\begin{array}{rcll}R\left({\Delta }_k\right)& :=& {\int \; <!--nolimits-->}_{x_k}^{x_{k+1}}f\left(x\right)dx-{\int \; <!--nolimits-->}_{x_k}^{x_{k+1}}{P}_1\left(x\right)dx& \\ & =& \frac{1}{2!}{\int \; <!--nolimits-->}_{x_k}^{x_{k+1}}{f}^{″}\left({\theta }_x\right)\left(x-x_k\right)\left(x-x_{k+1}\right)dx.& \end{array}$$

Dabei gilt $$\begin{array}{rcll}\left|R\left({\Delta }_k\right)\right|& \le & \frac{1}{2!}\underset{x\in {\Delta }_k}{max}\left|f^{″}\left(x\right)\right|{\int \; <!--nolimits-->}_{x_k}^{x_{k+1}}\left(x_{k+1}-x\right)\left(x-x_k\right)dx& \\ & \le & \frac{1}{12}{h}^3\underset{x\in {\Delta }_k}{max}\left|f^{″}\left(x\right)\right|.& \end{array}$$

Daraus folgt $$\begin{array}{rcll}\left|{\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx-S_T^{a,b}\left(f\right)\right|& \le & \sum _{k=0}^{n-1}\left|R\left({\Delta }_k\right)\right|& \\ & \le & \frac{1}{12}{\left(\frac{b-a}{n}\right)}^3\cdot n\cdot \underset{x\in \left[a,b\right]}{max}\left|f^{″}\left(x\right)\right|& \\ & \le & \frac{1}{12}\frac{{\left(b-a\right)}^3}{n^2}\underset{x\in \left[a,b\right]}{max}\left|f^{″}\left(x\right)\right|.& \end{array}$$

Wir merken an, dass diese Abschätzung nicht besser ist als die Fehlerabschätzung für die Rechteckformel! Die Trapezformel liefert also keinen wesentlichen Vorteil gegenüber der Rechteckformel.