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4.8.4  Die Simpsonsche Regel: Stückweise Approximation mit P2.

Man kann sich nun fragen, ob eine Erhöhung des Grades der approximierenden Polynome zu einer Verbesserung der Konvergenzgeschwindigkeit der Summenformeln führt. Dazu ersetzten wir f(x) auf Δk durch das Lagrange-Polynom P2(x) zweiten Grades mit den Approximationspunkten xk, xk+1 sowie ξk = (xk+1 + xk)∕2. Dieses ist durch die Formel P2(x) = (x − ξk)(x − xk+1) (xk − ξk)(xk − xk+1)f(xk) + (x − xk)(x − xk+1) (ξk − xk)(ξk − xk+1)f(ξk) + (x − xk)(x − ξk) (xk+1 − xk)(xk+1 − ξk)f(xk+1),x ∈ Δk,

gegeben. Eine Integration dieser Formel gibt

∫ xkxk+1 P2(x)dx = h 6 f(xk) + 4f(ξk) + f(xk+1) ,k = 0,…,n − 1. (4.51)

Durch Summation über n erhält man die Simpsonsche Regel ∫ abf(x)dx = ∑ k=0n−1 ∫ xkxk+1 f(x)dx ≈ ∑ k=0n−1 ∫ xkxk+1 P2(x)dx = ∑ k=0n−1h 6 f(xk) + 4f(ξk) + f(xk+1) ≈ b − a 6n f(a) + f(b) + 2(f(x1) + … + f(xn−1)) (4.52) + 4(f(ξ0) + … + f(ξn−1) =: SSa,b(f).

Problem 4.8.2. Verifizieren Sie die Integrationsformel (4.51) von P2 und deren Summation in (4.52)!

Wir skizzieren im weiteren die Herleitung folgender Fehlerabschätzung für die Simpsonsche Regel:

Theorem 4.8.3. Gilt f ∈ C4([a,b], ℝ), so folgt

∫ abf(x)dx − S Sa,b(f) ≤ (b − a)5 180 ⋅ (2n)4 max x∈[a,b]|f(4)(x)|. (4.53)

Damit konvergiert die Simpsonsche Regel mit der Geschwindigkeit O(n−4), also wesentlich schneller als die Rechteck- bzw. die Trapezformel.

Beweis. Zunächst merken wir an, dass für

Q(x) = (x − xk)(x − ξk)(x − xk+1)

die Identität

∫ xkxk+1 Q(x)dx = 0

gilt. Daraus folgt insbesondere, dass

R(Δk) := ∫ xkxk+1 (f(x) − P2(x))dx = ∫ xkxk+1 (f(x) − P2(x) − K ⋅ Q(x))dx. (4.54)

Da Q′(ξ k)≠0, so kann man die Konstante K so wählen, dass für die Funktion

F(x) = f(x) − P2(x) − K ⋅ Q(x)

neben der Gleichung F(xk) = F(ξk) = F(xk+1) = 0 auch F′(ξ k) = 0 und F ∈ C4([a,b], ℝ) gilt. Eine solche Funktion besitzt für x ∈ [a,b] die Darstellung

F(x) = f(4)(η x) 4! (x − xk)(x − ξk)2(x − x k+1) (4.55)

für geeignete ηx ∈ [a,b].

Die Formel (4.55) beweist man analog zu (4.46). Dazu betrachtet man die Funktion

g(x) = F(x) − c 4!(x − xk)(x − ξk)2(x − x k+1). (4.56)

Dann gilt g(4)(x) = F(4)(x) − c sowie g(xk) = g(ξk) = g(xk+1) = 0. Angenommen es sei

g(x̃) = 0für  einx̃ ∈ Δk \{xk,ξk,xk+1}. (4.57)

Nach dem Satz von Rolle besitzt g′ mindestens drei Nullstellen zwischen jeweils zwei aufeinanderfolgenden Punkten aus {xk,ξk,xk+1,x̃}. Zudem gilt g′(ξ k) = F′(ξ k) = 0, also besitzt g′ mindestens vier verschiedene Nullstellen. Zwischen diesen besitzt g′′ nach dem Satz von Rolle mindestens drei verschiedene Nullstellen, weiterhin g′′′ mindestens zwei verschiedene Nullstellen und schliesslich hat g(4) mindestens eine Nullstelle ηx̃ in ]xk,xk+1[. Daraus folgt c = F(4)(η x̃) für geeignetes ηx̃ ∈]xk,xk+1[, was zusammen mit (4.56) und (4.57) auf (4.55) führt.

Setzt man die Darstellung (4.55) auf der rechten Seite in (4.54) ein, so erhält man schliesslich |R(Δk)| = ∫ xkxk+1 F(x)dx ≤ max x∈Δk f(4)(x) ⋅ 1 4! ∫ xkxk+1 (x − xk)(x − ξk)2(x k+1 − x)dx.

Berechnet man das Integral in dieser Formel und führt eine Summation über k aus, so erhält man (4.53). □

Problem 4.8.4. Vervollständigen Sie die Details im Beweis des obigen Satzes.

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