4.8.2  Die Rechteckformel: Stückweise Approximation mit $P_0$.

Wir betrachten die äquidistante Zerlegung $\delta ={\left\{x_k\right\}}_{k=0}^n$,

Desweiteren sei

Wir approximieren auf jedem Intervall ${\Delta }_k=\left[x_k,x_{k+1}\right]$ die Funktion $f$ durch eine konstante Funktion (ein Polynom vom Grad $0$), und zwar

In der Rechteckformel nähert man das bestimmte Integral von $f$ auf $\left[a,b\right]$ folgendermaßen an: $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx& =& \sum _{k=0}^{n-1}{\int \; <!--nolimits-->}_{x_k}^{x_{k+1}}f\left(x\right)dx& \\ & \approx & \sum _{k=0}^{n-1}{\int \; <!--nolimits-->}_{x_k}^{x_{k+1}}{P}_0\left(x\right)dx& \\ & \approx & \sum _{k=0}^{n-1}f\left({\xi }_k\right)\cdot h=\frac{b-a}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f\left({\xi }_k\right)=:S_R^{a,b}\left(f\right).& \end{array}$$

Wir wollen nun den Fehler dieser Approximation abschätzen. Dazu nehmen wir an, dass $f\in C^2\left(\left[a,b\right],ℝ\right)$. Dann gilt nach (4.44) für $x\in {\Delta }_k$ bei einer Taylorentwicklung von $f$ um den Punkt ${\xi }_k$

mit einen geeigneten Punkt ${\theta }_{x,{\xi }_k}$ zwischen ${\xi }_k$ und $x$. Da die linke Seite als auch die ersten beiden Terme auf der rechten Seite auf ${\Delta }_k$ integrierbar sind, so ist auch der dritte Term der rechten Seite auf diesem Intervall integrierbar und es gilt $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_{x_k}^{x_{k+1}}f\left(x\right)dx& =& hf\left({\xi }_k\right)+f^{\prime }\left({\xi }_k\right){\int \; <!--nolimits-->}_{x_k}^{x_{k+1}}\left(x-{\xi }_k\right)dx& \\ & & +\frac{1}{2!}{\int \; <!--nolimits-->}_{x_k}^{x_{k+1}}{f}^{″}\left({\theta }_{x,{\xi }_k}\right){\left(x-{\xi }_k\right)}^{2}dx.& \end{array}$$

Da das Integral ${\int \; <!--nolimits-->}_{x_k}^{x_{k+1}}\left(x-{\xi }_k\right)dx$ wegen ${\xi }_k=\frac{x_{k+1}+x_k}{2}$ verschwindet, so folgt

mit $$\begin{array}{rcll}\left|R\left({\Delta }_k\right)\right|& \le & \frac{1}{2!}\underset{x\in {\Delta }_k}{max}\left|f^{″}\left(x\right)\right|{\int \; <!--nolimits-->}_{x_k}^{x_{k+1}}{\left(x-{\xi }_k\right)}^{2}dx& \\ & \le & \frac{1}{2!}\underset{x\in {\Delta }_k}{max}\left|f^{″}\left(x\right)\right|{\left.\frac{1}{3}{\left(x-{\xi }_k\right)}^3\right|}_{x_k}^{x_{k+1}}=\frac{2}{3!}{\left(\frac{h}{2}\right)}^3\underset{x\in {\Delta }_k}{max}\left|f^{″}\left(x\right)\right|.& \end{array}$$

Mit Hilfe der Dreiecksungleichung erhält man nun $$\begin{array}{rcll}\left|{\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}f\left(x\right)dx-\frac{b-a}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f\left({\xi }_k\right)\right|& \le & \sum _{k=0}^{n-1}\left|R\left({\Delta }_k\right)\right|\le & \\ & \le & \sum _{k=0}^{n-1}\frac{\underset{x\in {\Delta }_k}{max}\left|f^{\prime \prime }\left(x\right)\right|}{24}{h}^3& \\ & \le & \frac{1}{24}\cdot \underset{x\in \left[a,b\right]}{max}\left|f^{\prime \prime }\left(x\right)\right|\cdot n\cdot {\left(\frac{b-a}{n}\right)}^3& \end{array}$$

und schliesslich

Damit verhält sich der Fehler bei der Anwendung der Rechteckformel wie $O\left(n^{-2}\right)$.