3.6.4  Beweis - Schritt 3.

Für Funktionen $f:ℝ\supset X\to {ℂ}^n$ nutzt man den Isomorphismus zwischen ${ℂ}^n$ und ${ℝ}^{2n}$ gegeben durch $$\begin{array}{rcll}{ℂ}^n\ni f=\left({\phi }_1,\dots {\phi }_n\right)& \mapsto & \tilde{f}=\left({\nu }_1,\dots {\nu }_n,{\mu }_1,\dots ,{\mu }_n\right)\in {ℝ}^{2n},& \\ {\nu }_k=\text{Re}{\phi }_k,& & {\mu }_k=\text{Im}{\phi }_k,k=1,\dots ,n,& \end{array}$$

aus. Diese Abbildung erhält die Norm und respektiert die Addition der Vektoren sowie deren Multiplikation mit reellen Konstanten. Damit respektiert der Isomorphismus aber auch die reelle Ableitung von Vektorfunktionen als Grenzwert des Differenzenquotienten $h^{-1}\left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)$ für $h\to 0$ mit $x,h\in ℝ$, und (3.27) lässt sich von Schritt 2 auf komplexwertige Vektorfunktionen einer reellen Variablen übertragen.