3.6.5  Beweis - Schritt 4.

Für Funktionen $f:ℂ\supset X\to {ℂ}^n$ lässt sich das vorherige Argument nicht übernehmen, da der genannte Isomorphismus komplexe Ableitungen nicht erhält. Wir parametrisieren deshalb die Strecke $\overline{ab}$ wie folgt

Dabei gilt $a=\psi \left(0\right)$, $b=\psi \left(|b-a|\right)$, $\left|{\psi }^{\prime }\left(t\right)\right|=\left|q\right|=1$ und die Abbildung $\left(f\circ \psi \right):ℝ\to {ℂ}^n$ ist stetig auf $\left[0,|b-a|\right]$ sowie differenzierbar in $]0,|b-a|[$. Man kann deshalb die im Schritt 3 für diesen Fall bewiesene Ungleichung (3.27) auf $f\circ \psi$ anwenden, und erhält bei Anwendung der Kettenregel $$\begin{array}{rcll}\parallel f\left(b\right)-f\left(a\right)\parallel & =& \parallel \left(f\circ \psi \right)\left(|b-a|\right)-\left(f\circ \psi \right)\left(0\right)\parallel & \\ & \le & \underset{t\in }{sup}\parallel {\left(f\circ \psi \right)}^{\prime }\left(t\right)\parallel \cdot |b-a|& \\ & \le & \underset{t\in }{sup}\parallel \left(f^{\prime }\circ \psi \right)\left(t\right)\parallel \cdot \left|{\psi }^{\prime }\left(t\right)\right|\cdot |b-a|& \\ & \le & \underset{x\in \stackrel{\circ }{\overline{ab}}}{sup}\parallel f^{\prime }\left(x\right)\parallel |b-a|.& \end{array}$$