Beweis - Schritt 2.

3.6.3 Beweis - Schritt 2.

Es sei nun $f : ℝ \supset X \to ℝ^{n}$ . Dann hat $f$ die Form

f (x) = (φ_{1} (x), \dots, φ_{n} (x)), φ_{k} : X \to ℝ, k = 1, \dots, n,

wobei die Funktionen $φ_{k}$ in den Punkten $x \in \bar{a b}$ stetig sowie in den Punkten $x \in \overset{\circ}{\bar{a b}}$ differenzierbar sind. Gleiches gilt dann auch für die Funktion $F : X \to ℝ$ , welche durch den Ausdruck

F (x) = \sum_{k = 1}^{n} α_{k} φ_{k} (x), α_{k} \in ℝ, k = 1, \dots, n

gegeben ist. Wendet man die oben bewiesene Abschätzung (3.28) auf diese Funktion an, so erhält man

| F (b) - F (a) | \leq sup_{x \in} | F^{'} (x) | | b - a | .

(3.29)

Mit Hilfe der Identitäten $\begin{array}{rcl} F (b) - F (a) & = & \sum_{k = 1}^{n} α_{k} (φ_{k} (b) - φ_{k} (a)) = <α, f (b) - f (a)>, \\ F^{'} (x) & = & \sum_{k = 1}^{n} α_{k} φ_{k}^{'} (x) = <α, f^{'} (x)> \end{array}$

und der Ungleichung von Cauchy-Schwarz-Bunjakowskij lässt sich die Ungleichung (3.29) folgendermassen fortsetzen $\begin{array}{rcl} |<α, f (b) - f (a)>| & \leq & sup_{x \in} |<α, f^{'} (x)>| \cdot | b - a | \\ \leq & sup_{x \in} ∥ α ∥ \cdot ∥ f^{'} (x) ∥ \cdot | b - a | . \end{array}$

wobei $α \in ℝ^{n}$ den Vektor $(α_{1}, \dots, α_{n})$ und $<\cdot, \cdot>$ das Skalarprodukt in $ℝ^{n}$ bezeichnen. Setzt man hier

α : = f (b) - f (a),

so erhält man wegen $|<α, f (b) - f (a)>| = ∥ f (b) - f (a) ∥^{2}$ die Behauptung (3.27).

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